De acordo com essa máquina, seja o número x=d1, d2 d3 cdots d7 d8 cdot 10^8, responda:
(f) Qual condição x deve satisfazer para ocorrer com ele o maior erro absoluto de arredondamento possível ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado pede. A máquina trabalha em base β=10, com p=8 dígitos de precisão. O exercício (item f) pergunta: “Qual condição x deve satisfazer para ocorrer com ele o maior erro absoluto de arredondamento possível?”
Conteúdo: ponto‐flutuante e erro de arredondamento por arredondar ao mais próximo.

Passo 2

Primeiro, a teoria do erro de arredondamento. Quando a gente faz fl(x) (arredonda x à máquina por “round‐to‐nearest”), vale a desigualdade
|,fl(x)-x| <= u,|x|,
onde
u = tfrac12,beta^,1-p
é o chamado unit roundoff. Aqui β=10 e p=8, então
u = tfrac12cdot10^1-8 = 5times10^-8
Isso diz que o erro absoluto máximo é .

Passo 3

Para que esse limite seja alcançado (i.e.\ para que ocorra efetivamente x = d1d2d3cdots d8,d9,d10cdotstimes10^e ), x tem que estar bem no meio de dois números consecutivos de máquina. Em termos de dígitos, imagine a mantissa normalizada de x:
d9 = beta/2 = 5,
A máquina só guarda . Para ficar exatamente no meio entre os dois valores arredondáveis, o 9º dígito (o primeiro que a máquina corta) deve ser
e todos os dígitos seguintes ( ) devem ser zero.

Passo 4

Em resumo, a condição para que x sofra o maior erro absoluto possível é que ele seja exatamente o ponto‐médio entre dois floats consecutivos da máquina, ou seja, na sua expansão decimal normalizada o nono dígito vale 5 e todos os restantes são zero.

Resposta

x deve estar exatamente no ponto‐médio entre dois números de máquina consecutivos: na mantissa normalizada (base 10, p=8) o dígito deve ser 5 e .

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