Prove os seguintes itens:
Se a>1 então a^{\wedge} n>a, para todo n \in N.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
  • Dado: a>1.
  • Pede-se: mostrar que a^{n}>a para todo n\in\mathbb{N}.
  • Observação importante (para evitar ambiguidade): se n=1 então a^{1}=a, ou seja, a desigualdade estrita não vale para n=1. Portanto vou provar a afirmação para todos os n\in\mathbb{N} com n\ge 2.
    Nada mais será assumido além de a>1 e das propriedades básicas de desigualdades e multiplicação.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicada de leve).
  • Método: prova por indução nas potências (índices naturais n).
  • Intuição rápida e amigável: como a>1, multiplicar por a “aumenta” um número positivo. Assim, se já sabemos que a^{k}>a, ao multiplicar ambos os lados por a esperávamos que a^{k+1} fique ainda maior que a. A indução formaliza isso: prova-se um caso base e depois que, se vale para um k, vale para k+1.

Passo 3

Lembrando uma propriedade básica de desigualdades que vamos usar (explicação didática).
  • Propriedade: se x>y e c>0 então cx>cy.
  • Por que isso é verdade? Porque x>y implica x-y>0. Como c>0, ao multiplicar c(x-y) obtemos c(x-y)>0. Mas c(x-y)=cx-cy, logo cx-cy>0, isto é, cx>cy.
  • Esta propriedade é simples, mas fundamental: multiplicar desigualdades por números positivos preserva a desigualdade.

Passo 4

Caso base da indução (mostrar para o menor n que queremos).
  • Vamos provar para n=2. Como a>1 e a>0, aplicando a propriedade do passo anterior com x=a, y=1 e c=a obtemos
a\cdot a > a\cdot 1,
ou seja
a^{2}>a.
  • Alternativa explicativa curta: escrevendo a=1+t com t>0, temos a^{2}=(1+t)^{2}=1+2t+t^{2}>1+t=a. Mesmo resultado. Portanto o caso base n=2 está provado.

Passo 5

Hipótese de indução (como se faz a hipótese).
  • Suponha que para algum k\ge 2 valha
a^{k}>a.
Isto é a hipótese de indução.

Passo 6

Passo indutivo (de k para k+1) com explicações.
  • Multiplicando a desigualdade da hipótese de indução por a>0 (usando a propriedade do passo 3) obtemos
a\cdot a^{k} > a\cdot a,
isto é,
a^{k+1} > a^{2}.
  • Já sabemos do caso base que a^{2}>a. Usando a transitividade das desigualdades (se X>Y e Y>Z então X>Z) obtemos
a^{k+1} > a^{2} > a \quad\Longrightarrow\quad a^{k+1}>a.
  • Assim, se vale para k então vale para k+1.

Passo 7

Conclusão pela indução e observações finais.
  • Pelo princípio da indução matemática, como o caso base n=2 é verdadeiro e o passo indutivo foi feito, concluímos que para todo n\in\mathbb{N} com n\ge 2 vale
a^{n}>a.
  • Observação final de cuidado: para n=1 temos a^{1}=a (igualdade) e para n=0 tem-se a^{0}=1<a (já que a>1). Portanto a desigualdade estrita começa a valer precisamente a partir de n=2.

Resposta

a^{n}>a para todo n\in\mathbb{N} com n\ge 2.

Exercícios relacionados