Prove os seguintes itens:
Se
então
, para todo
.
Se
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
- Dado:
. - Pede-se: mostrar que
para todo . - Observação importante (para evitar ambiguidade): se
então , ou seja, a desigualdade estrita não vale para . Portanto vou provar a afirmação para todos os com .
Nada mais será assumido além dee das propriedades básicas de desigualdades e multiplicação.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicada de leve).
- Método: prova por indução nas potências (índices naturais
). - Intuição rápida e amigável: como
, multiplicar por “aumenta” um número positivo. Assim, se já sabemos que , ao multiplicar ambos os lados por esperávamos que fique ainda maior que . A indução formaliza isso: prova-se um caso base e depois que, se vale para um , vale para .
Passo 3
Lembrando uma propriedade básica de desigualdades que vamos usar (explicação didática).
- Propriedade: se
e então . - Por que isso é verdade? Porque
implica . Como , ao multiplicar obtemos . Mas , logo , isto é, . - Esta propriedade é simples, mas fundamental: multiplicar desigualdades por números positivos preserva a desigualdade.
Passo 4
Caso base da indução (mostrar para o menor
que queremos).
- Vamos provar para
. Como e , aplicando a propriedade do passo anterior com , e obtemos
ou seja
- Alternativa explicativa curta: escrevendo
com , temos . Mesmo resultado. Portanto o caso base está provado.
Passo 5
Hipótese de indução (como se faz a hipótese).
- Suponha que para algum
valha
Isto é a hipótese de indução.
Passo 6
Passo indutivo (de
para
) com explicações.
- Multiplicando a desigualdade da hipótese de indução por
(usando a propriedade do passo 3) obtemos
isto é,
- Já sabemos do caso base que
. Usando a transitividade das desigualdades (se e então ) obtemos
- Assim, se vale para
então vale para .
Passo 7
Conclusão pela indução e observações finais.
- Pelo princípio da indução matemática, como o caso base
é verdadeiro e o passo indutivo foi feito, concluímos que para todo com vale
- Observação final de cuidado: para
temos (igualdade) e para tem-se (já que ). Portanto a desigualdade estrita começa a valer precisamente a partir de .