O afixo do número complexo raiz3+i determina um dos vértices de um quadrado inscrito em uma circunferência com centro na origem do plano de Argand-Gauss. Esse quadrado possui um vértice em cada quadrante.
O vértice que está localizado no quarto quadrante é a imagem do número complexo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o ponto é um dos vértices de um quadrado inscrito numa circunferência centrada na origem. Esse quadrado tem um vértice em cada quadrante, e a gente quer achar o vértice que fica no quarto quadrante.
Conteúdo: números complexos em forma polar e propriedades de polígonos inscritos em circunferências.
O que precisamos fazer:
  1. Passar para forma polar (módulo e argumento).
  2. Notar que num quadrado inscrito os ângulos dos vértices se espaçam em .
  3. Encontrar qual dessas posições cai no quarto quadrante e converter de volta para .

Passo 2

Primeiro, vamos achar o módulo de |z1| = raiz(raiz3)^2 + 1^2 = raiz3 + 1 = 2 :
arg(z1) = arctanl(tfracIm(z1)Re(z1)r) = arctanl(tfrac1raiz3r) = tfracpi6
Isso mostra que a circunferência tem raio . Agora o argumento de :

Passo 3

Num quadrado inscrito, os 4 vértices têm argumentos
thetak = arg(z1) + kcdotpi2, k=0,1,2,3
Isso porque a cada vértice a gente gira radianos.

Passo 4

Vamos listar as posições:
  • k=0: (1º quadrante)
  • k=1: (2º quadrante)
  • k=2: (3º quadrante)
  • k=3: (4º quadrante)
O valor equivale a , que realmente está no quarto quadrante.

Passo 5

Agora escrevemos o ponto correspondente em forma z4 = 2l(costfrac5pi3 + isintfrac5pi3r) = 2l(tfrac12 + il(-tfracraiz32r)r) = 1 - iraiz3 e voltamos para :

Resposta

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