Em uma determinada cidade brasileira, três candidatos estão concorrendo à vaga de prefeito no ano de 2024: Candidato A, Candidato B e Candidato C. Uma pesquisa realizada com 1.000 eleitores apontou que:
  • 50 % dos eleitores simpatizam com o Candidato A.
  • 40 % dos eleitores simpatizam com o Candidato B.
  • 30% dos eleitores simpatizam com o Candidato C.
  • 20 % dos eleitores simpatizam tanto com o Candidato A quanto com o Candidato B.
  • 10 % dos eleitores simpatizam tanto com o Candidato A quanto com o Candidato C.
  • 15 % dos eleitores simpatizam tanto com o Candidato B quanto com o Candidato C.
  • 5% dos eleitores simpatizam com os três candidatos.
    Considerando que um eleitor é escolhido aleatoriamente dessa população e com base nas informações da pesquisa, analise as afirmações a seguir:
    I. A probabilidade de que o eleitor escolhido simpatize tanto com o Candidato A quanto com o Candidato B, mas não simpatize com o Candidato C é de 15%.
    II. A probabilidade de que o eleitor escolhido simpatize com pelo menos um dos três candidatos é de 95%.
    III. A probabilidade de que o eleitor escolhido simpatize somente com um dos três candidatos é de 35%.
    Está(ão) correta(s) apenas a(s) afirmativa(s):

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede e o que a gente precisa:
  • Enunciado resumido: Num município, 50% gostam do A, 40% do B, 30% do C; 20% gostam de A e B, 10% de A e C, 15% de B e C; 5% gostam dos três.
  • Conteúdo: Probabilidade de interseções e uniões de eventos (teorema da inclusão-exclusão).
  • O que vamos usar:
    1. P(A∩B só) = P(A∩B) – P(A∩B∩C)
    2. P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P© – [P(A∩B)+P(A∩C)+P(B∩C)] + P(A∩B∩C)
    3. P(exatamente um) = soma de “P(A só) + P(B só) + P(C só)”, onde, por exemplo,
      P(A só) = P(A) – P(A∩B) – P(A∩C) + P(A∩B∩C)
A partir do próximo passo, vamos aplicar essas fórmulas.

Passo 2

Verificar a afirmação I:
“A probabilidade de simpatizar com A e B, mas não com C é de 15%.”
Teoria: quem “gosta de A e B só” é
P(Acap B só) = P(Acap B) ;-; P(Acap Bcap C) ó
Substituindo:
P(Acap B só) = 20% - 5% = 15% ó
Logo, I está correta.

Passo 3

Verificar a afirmação II:
“Pelo menos um dos três candidatos é 95%.”
Teoria (inclusão-exclusão):
P(Acup Bcup C) = P(A)+P(B)+P(C) - [P(Acap B)+P(Acap C)+P(Bcap C)] + P(Acap Bcap C)
Substituindo valores:
P(Acup Bcup C) = 50% + 40% + 30% - (20% + 10% + 15%) + 5% = 120% - 45% + 5% = 80%
Então não é 95%, é 80%. II está errada.

Passo 4

Verificar a afirmação III:
“A probabilidade de simpatizar somente com um dos três é 35%.”
Teoria: “só A” = P(A) – P(A∩B) – P(A∩C) + P(A∩B∩C). Mesma ideia para B e para C.
Calcular:
  • P(A só) = 50% – 20% – 10% + 5% = 25%
  • P(B só) = 40% – 20% – 15% + 5% = 10%
  • P(C só) = 30% – 10% – 15% + 5% = 10%
    Somando: 25% + 10% + 10% = 45%.
    Não é 35%, é 45%. III está errada.

Resposta

Apenas a afirmativa I está correta.

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