Considere a função tabelada como segue:
-1 0 1
5 13 -4
(a) Determine o polinômio interpolador de grau , via fórmula de Lagrange.
(b) Determine o polinômio interpolador de grau , via fórmula de Newton.
(c) Assuma que um novo dado é coletado, de forma que a tabela atualizada seja:
-1 0 1 2
5 13 -4 -8
Recalcule os polinômios interpoladores via fórmula de Lagrange e via fórmula de Newton.
(d) Os polinômios obtidos pelo polinômio de Lagrange do item (a) coincidem com os do item (c) ou precisam ser recalculados?
(e) As diferenças divididas obtidas pelo polinômio de Newton do item (b) coincidem com as diferenças divididas e do item (c) ou precisam ser recalculadas?

Passo 1

O enunciado fornece os valores
f(-1)=5, f(0)=13, f(1)=-4
e pede:
  • (a) interpolador de grau 2 via Lagrange;
  • (b) interpolador de grau 2 via Newton;
    em seguida chega um novo ponto (2,-8) e pede
  • (c) interpolador via Lagrange e via Newton para os quatro pontos;
  • (d) se as funções base L0,L1,L2 de Lagrange mudam;
  • (e) se as diferenças divididas de ordem <=2 mudam quando se acrescenta o quarto ponto.

Passo 2

Construção de p2 por Lagrange nos nós x0=-1,;x1=0,;x2=1.
As bases são
L0(x)=(x-0)(x-1)(-1-0)(-1-1)=x(x-1)2, L1(x)=(x+1)(x-1)(0+1)(0-1)=-(x^2-1), L2(x)=(x+1)(x-0)(1+1)(1-0)=x(x+1)2
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p2(x)=5,L0(x)+13,L1(x)-4,L2(x) =52(x^2-x)-13(x^2-1)-42(x^2+x) =-252x^2-92x+13

Passo 3

Construção de p2 por Newton nos mesmos nós.
Diferenças divididas:
f[x0]=5, f[x0,x1]=13-50-(-1)=8, f[x1,x2]=-4-131-0=-17,
f[x0,x1,x2] =-17-81-(-1)=-252
Então
p2(x) =5+8,(x+1)-252,(x+1)x =-252x^2-92x+13,
coincidindo com o resultado de Lagrange.

Passo 4

Agora com o ponto adicional (2,-8), construímos o interpolador de grau 3 por Lagrange nos nós -1,0,1,2. As bases são
L0(x)=-(x-0)(x-1)(x-2)6,; L1(x)=(x+1)(x-1)(x-2)2,; L2(x)=-(x+1)x(x-2)2,; L3(x)=(x+1)x(x-1)6
Então
p3(x) =5,L0(x)+13,L1(x)-4,L2(x)-8,L3(x) =193x^3-252x^2-656x+13

Passo 5

Interpolador de grau 3 por Newton nos nós x0=-1,x1=0,x2=1,x3=2.
Calculamos as novas diferenças divididas:
f[x2,x3]=-8-(-4)2-1=-4, f[x1,x2,x3]=-4-(-17)2-0=132,
f[x0,x1,x2,x3] =tfrac132-(-tfrac252)2-(-1)=193
Portanto
p3(x) =5+8(x+1)-tfrac252(x+1)x+tfrac193(x+1)x(x-1),
que, ao expandir, dá o mesmo
tfrac193x^3-tfrac252x^2-tfrac656x+13.

Passo 6

As funções base L0,L1,L2 de Lagrange associadas aos nós -1,0,1 não mudam quando se acrescenta o nó x3=2. Portanto elas coincidem com as do item (a).

Passo 7

As diferenças divididas
f[x0],;f[x0,x1],;f[x0,x1,x2]
calculadas no item (b) permanecem as mesmas quando se acrescenta o quarto ponto. Só aparece uma nova diferença de ordem 3, f[x0,x1,x2,x3], que precisa ser calculada.

Resposta

(a)
p2(x)=-252x^2-92x+13
(b)
p2(x)=5+8(x+1)-252(x+1)x,
que ao expandir é igual a (a).
(c)
p3(x)=193x^3-252x^2-656x+13
via Lagrange,
p3(x)=5+8(x+1)-252(x+1)x+193(x+1)x(x-1)
via Newton.
(d) As bases L0,L1,L2 não mudam, elas coincidem com as do item (a).
(e) As diferenças f[x0], f[x0,x1], f[x0,x1,x2] não mudam; só surge a nova diferença f[x0,x1,x2,x3].

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