Considere a função
tabelada como segue:
-1
0
1
5
13
-4
(a) Determine o polinômio interpolador de grau
, via fórmula de Lagrange.
(b) Determine o polinômio interpolador de grau
, via fórmula de Newton.
(c) Assuma que um novo dado é coletado, de forma que a tabela atualizada seja:
-1
0
1
2
5
13
-4
-8
Recalcule os polinômios interpoladores via fórmula de Lagrange e via fórmula de Newton.
(d) Os polinômios
obtidos pelo polinômio de Lagrange do item (a) coincidem com os do item (c) ou precisam ser recalculados?
(e) As diferenças divididas
obtidas pelo polinômio de Newton do item (b) coincidem com as diferenças divididas
e
do item (c) ou precisam ser recalculadas?
|
-1 | 0 | 1 |
|
5 | 13 | -4 |
(b) Determine o polinômio interpolador de grau
(c) Assuma que um novo dado é coletado, de forma que a tabela atualizada seja:
|
-1 | 0 | 1 | 2 |
|
5 | 13 | -4 | -8 |
(d) Os polinômios
(e) As diferenças divididas
Passo 1
O enunciado fornece os valores
e pede:
- (a) interpolador de grau 2 via Lagrange;
- (b) interpolador de grau 2 via Newton;
em seguida chega um novo pontoe pede - (c) interpolador via Lagrange e via Newton para os quatro pontos;
- (d) se as funções base
de Lagrange mudam; - (e) se as diferenças divididas de ordem
mudam quando se acrescenta o quarto ponto.
Passo 2
Construção de
por Lagrange nos nós
.
As bases são
As bases são
Logo
Passo 3
Construção de
por Newton nos mesmos nós.
Diferenças divididas:
Diferenças divididas:
Então
coincidindo com o resultado de Lagrange.
Passo 4
Agora com o ponto adicional
, construímos o interpolador de grau 3 por Lagrange nos nós
. As bases são
Então
Passo 5
Interpolador de grau 3 por Newton nos nós
.
Calculamos as novas diferenças divididas:
Calculamos as novas diferenças divididas:
Portanto
que, ao expandir, dá o mesmo
.
Passo 6
As funções base
de Lagrange associadas aos nós
não mudam quando se acrescenta o nó
. Portanto elas coincidem com as do item (a).
Passo 7
As diferenças divididas
calculadas no item (b) permanecem as mesmas quando se acrescenta o quarto ponto. Só aparece uma nova diferença de ordem 3,
, que precisa ser calculada.
Resposta
(a)
(b)
que ao expandir é igual a (a).
(c)
(c)
via Lagrange,
via Newton.
(d) As bases não mudam, elas coincidem com as do item (a).
(e) As diferenças ,
,
não mudam; só surge a nova diferença
.
(d) As bases
(e) As diferenças