Um agricultor decide plantar uma fileira com 30 árvores em linha reta, mantendo uma distância crescente entre elas. A distância entre a 1^{\mathrm{a}} e a 2^{\mathrm{a}} árvore é de 1,5 metros, e
entre a 2^{\mathrm{a}} e a 3^{\mathrm{a}} é de 2 metros. Suponha que a distância entre árvores forme uma progressão aritmética. Qual será a distância total percorrida do início da 1^{\text {a }} árvore até a 30^{\text {a }} ?
a) 493 metros
b) 246,5 metros
c) 255 metros
d) 615 m

Passo 1

O enunciado pede a distância total percorrida do início da 1^{\text{a}} árvore até a 30^{\text{a}} árvore, sabendo que as distâncias entre árvores formam uma progressão aritmética. Informações dadas:
  • 30 árvores em linha reta.
  • A distância entre a 1^{\text{a}} e a 2^{\text{a}} árvore é \,1,5\\ \text{m}.
  • A distância entre a 2^{\text{a}} e a 3^{\text{a}} árvore é \,2\\ \text{m}.
  • As distâncias entre árvores seguem uma progressão aritmética (PA).
    A pergunta é: qual é a soma de todas as distâncias entre árvores desde a 1^{\text{a}} até a 30^{\text{a}} ?

Passo 2

Primeira observação importante: entre 30 árvores existem 29 distâncias (ou “intervalos”) consecutivos. Por exemplo, entre a 1^{\text{a}} e a 2^{\text{a}} é o primeiro intervalo, e entre a 29^{\text{a}} e a 30^{\text{a}} é o vigésimo nono. Assim o número de termos da PA que precisamos somar é
n = 29.

Passo 3

Vamos lembrar o que é uma progressão aritmética (PA) e as fórmulas básicas, explicando cada símbolo:
  • Em uma PA, cada termo é obtido somando-se uma constante d (a razão) ao termo anterior.
  • Denotamos o primeiro termo por a_1, a razão por d, e o k-ésimo termo por a_k.
  • A fórmula do termo geral é
a_k = a_1 + (k-1)d,
onde a_k é o termo que ocupa a posição k, a_1 é o primeiro termo e d é a diferença comum entre termos.
  • A soma dos n primeiros termos é dada por
S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n),
onde a_n é o último termo que vamos somar. Essa fórmula vem da ideia de emparelhar o primeiro termo com o último, o segundo com o penúltimo, etc.; cada par tem soma igual a a_1+a_n e há n/2 pares (se n for ímpar, a fórmula continua válida com a interpretação adequada).

Passo 4

Identificamos os valores iniciais da PA a partir do enunciado:
a_1 = 1,5\quad\text{e}\quad a_2 = 2.
A razão d é a diferença entre a_2 e a_1:
d = a_2 - a_1 = 2 - 1,5 = 0,5.
Portanto
d = 0,5.

Passo 5

Confirmando o número de termos que somaremos: como há 30 árvores, há 29 intervalos, então
n = 29.

Passo 6

Precisamos do último termo da PA que corresponde ao intervalo entre a 29^{\text{a}} e a 30^{\text{a}}, ou seja, a_{29}. Usando a fórmula do termo geral:
a_{29} = a_1 + (29-1)d = 1,5 + 28\cdot 0,5.
Calculemos passo a passo:
28\cdot 0,5 = 14,
logo
a_{29} = 1,5 + 14 = 15,5.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula da soma dos n termos da PA:
S_{29} = \frac{29}{2}\,(a_1 + a_{29}).
Substituindo a_1 = 1,5 e a_{29} = 15,5,
S_{29} = \frac{29}{2}\,(1,5 + 15,5).

Passo 8

Continuando as contas de forma bem clara:
1,5 + 15,5 = 17,
então
S_{29} = \frac{29}{2}\cdot 17.
Calcule 29\cdot 17. Um jeito rápido:
29\cdot 17 = (30-1)\cdot 17 = 30\cdot 17 - 1\cdot 17 = 510 - 17 = 493.
Portanto
S_{29} = \frac{493}{2} = 246,5.

Passo 9

Interpretação final: a soma das 29 distâncias entre as 30 árvores é \,246,5\\ \text{metros}.

Resposta

b) 246,5 metros

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