Um agricultor decide plantar uma fileira com 30 árvores em linha reta, mantendo uma distância crescente entre elas. A distância entre a
e a
árvore é de 1,5 metros, e
entre a
e a
é de 2 metros. Suponha que a distância entre árvores forme uma progressão aritmética. Qual será a distância total percorrida do início da
árvore até a
?
a) 493 metros
b) 246,5 metros
c) 255 metros
d) 615 m
entre a
a) 493 metros
b) 246,5 metros
c) 255 metros
d) 615 m
Passo 1
O enunciado pede a distância total percorrida do início da
árvore até a
árvore, sabendo que as distâncias entre árvores formam uma progressão aritmética. Informações dadas:
- Há
árvores em linha reta. - A distância entre a
e a árvore é . - A distância entre a
e a árvore é . - As distâncias entre árvores seguem uma progressão aritmética (PA).
A pergunta é: qual é a soma de todas as distâncias entre árvores desde aaté a ?
Passo 2
Primeira observação importante: entre
árvores existem
distâncias (ou “intervalos”) consecutivos. Por exemplo, entre a
e a
é o primeiro intervalo, e entre a
e a
é o vigésimo nono. Assim o número de termos da PA que precisamos somar é
Passo 3
Vamos lembrar o que é uma progressão aritmética (PA) e as fórmulas básicas, explicando cada símbolo:
- Em uma PA, cada termo é obtido somando-se uma constante
(a razão) ao termo anterior. - Denotamos o primeiro termo por
, a razão por , e o -ésimo termo por . - A fórmula do termo geral é
onde
é o termo que ocupa a posição
,
é o primeiro termo e
é a diferença comum entre termos.
- A soma dos
primeiros termos é dada por
onde
é o último termo que vamos somar. Essa fórmula vem da ideia de emparelhar o primeiro termo com o último, o segundo com o penúltimo, etc.; cada par tem soma igual a
e há
pares (se
for ímpar, a fórmula continua válida com a interpretação adequada).
Passo 4
Identificamos os valores iniciais da PA a partir do enunciado:
A razão
é a diferença entre
e
:
Portanto
Passo 5
Confirmando o número de termos que somaremos: como há
árvores, há
intervalos, então
Passo 6
Precisamos do último termo da PA que corresponde ao intervalo entre a
e a
, ou seja,
. Usando a fórmula do termo geral:
Calculemos passo a passo:
logo
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula da soma dos
termos da PA:
Substituindo
e
,
Passo 8
Continuando as contas de forma bem clara:
então
Calcule
. Um jeito rápido:
Portanto
Passo 9
Interpretação final: a soma das
distâncias entre as
árvores é
.
Resposta
b)
metros