Marcos, Gabriela e Renata são supervisores de qualidade em uma fábrica. Marcos comparece à unidade a cada 10 dias, Gabriela a cada 6 dias e Renata a cada 8 dias. Sabe-se que os três estiveram juntos na fábrica no dia 15 de abril de 2025. Em qual será a próxima data em que os três voltarão a estar presentes juntos na fábrica?
a) 11 de agosto de 2025
b) 12 de agosto de 2025
c) 15 de agosto de 2025
d) 14 de agosto de 2025

Passo 1

O enunciado diz que três supervisores aparecem na fábrica com periodicidades diferentes: Marcos a cada 10 dias, Gabriela a cada 6 dias e Renata a cada 8 dias. Sabe-se que os três estiveram juntos no dia 15 de abril de 2025. A pergunta é: em qual será a próxima data em que os três voltarão a estar juntos na fábrica? As alternativas fornecidas são:
a) 11 de agosto de 2025
b) 12 de agosto de 2025
c) 15 de agosto de 2025
d) 14 de agosto de 2025

Passo 2

O que precisamos achar, em termos matemáticos, é o menor número de dias positivos t tal que t é múltiplo de 10, de 6 e de 8 ao mesmo tempo. Isso porque, a partir do dia em que os três estiveram juntos (dia inicial), eles voltarão a coincidir quando houver se passado um número de dias que seja múltiplo das três periodicidades. Esse menor t>0 é o mínimo múltiplo comum (MMC, também chamado LCM em inglês) de 10, 6 e 8.
Explicando o conceito que vamos usar: o MMC de vários números é obtido pegando os fatores primos comuns e não comuns com seus maiores expoentes. Em palavras simples: fatoramos cada número, escolhemos cada primo com a maior potência em que aparece entre as fatorações, e multiplicamos tudo. Vou mostrar passo a passo.

Passo 3

Fatoramos os números:
10 = 2 \cdot 5
6 = 2 \cdot 3
8 = 2^{3}
Aqui cada expressão mostra a decomposição em primos. Note que o primo 2 aparece com expoente 1 em 10 e 6, e com expoente 3 em 8.

Passo 4

Para o MMC, pegamos cada primo com o maior expoente observado:
  • primo 2: maior expoente é 3 (vindo de 8), então tomamos 2^{3};
  • primo 3: aparece com expoente 1 (vindo de 6), então tomamos 3^{1};
  • primo 5: aparece com expoente 1 (vindo de 10), então tomamos 5^{1}.
Logo,
\text{MMC}(10,6,8)=2^{3}\cdot 3\cdot 5.

Passo 5

Calculando o produto:
2^{3}=8,
8\cdot 3 = 24,
24\cdot 5 = 120.
Portanto o menor número de dias após 15 de abril de 2025 em que os três voltarão a coincidir é 120 dias.

Passo 6

Agora vamos somar 120 dias a partir de 15 de abril de 2025. Para isso eu uso os comprimentos dos meses de 2025 (ano não bissexto): abril 30 dias, maio 31, junho 30, julho 31, agosto 31. Vou somar mês a mês de forma clara para você conseguir reproduzir na prova sem calculadora.
Contagem dos dias restantes em abril após o dia 15:
\text{dias restantes em abril} = 30 - 15 = 15.
Se eu consumir esses 15 dias, sobram
120 - 15 = 105
dias a avançar a partir de 1 de maio de 2025.
Consumo em maio ( 31 dias):
105 - 31 = 74.
Ainda faltam 74 dias após 1 de junho.
Consumo em junho ( 30 dias):
74 - 30 = 44.
Ainda faltam 44 dias após 1 de julho.
Consumo em julho ( 31 dias):
44 - 31 = 13.
Após usar todo o mês de julho, restam 13 dias a contar a partir de 1 de agosto.

Passo 7

Portanto o dia buscado é o 13-ésimo dia de agosto de 2025, ou seja:
\text{data} = 13\\ \text{de agosto de}\\\ 2025.
Verificação modular rápida (para ter segurança): 120 é divisível por 10, por 6 e por 8, então se adicionarmos 120 dias a 15 de abril obteremos uma data em que cada um retorna (Marcos: 15+120 é múltiplo de 10; Gabriela: múltiplo de 6; Renata: múltiplo de 8). Calculamos que essa data é 13 de agosto de 2025, então a verificação bate.

Resposta

\,13 de agosto de \,2025

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