Marcos, Gabriela e Renata são supervisores de qualidade em uma fábrica. Marcos comparece à unidade a cada 10 dias, Gabriela a cada 6 dias e Renata a cada 8 dias. Sabe-se que os três estiveram juntos na fábrica no dia 15 de abril de 2025. Em qual será a próxima data em que os três voltarão a estar presentes juntos na fábrica?
a) 11 de agosto de 2025
b) 12 de agosto de 2025
c) 15 de agosto de 2025
d) 14 de agosto de 2025
a) 11 de agosto de 2025
b) 12 de agosto de 2025
c) 15 de agosto de 2025
d) 14 de agosto de 2025
Passo 1
O enunciado diz que três supervisores aparecem na fábrica com periodicidades diferentes: Marcos a cada
dias, Gabriela a cada
dias e Renata a cada
dias. Sabe-se que os três estiveram juntos no dia
de abril de
. A pergunta é: em qual será a próxima data em que os três voltarão a estar juntos na fábrica? As alternativas fornecidas são:
a) de agosto de
b) de agosto de
c) de agosto de
d) de agosto de
a)
b)
c)
d)
Passo 2
O que precisamos achar, em termos matemáticos, é o menor número de dias positivos
tal que
é múltiplo de
, de
e de
ao mesmo tempo. Isso porque, a partir do dia em que os três estiveram juntos (dia inicial), eles voltarão a coincidir quando houver se passado um número de dias que seja múltiplo das três periodicidades. Esse menor
é o mínimo múltiplo comum (MMC, também chamado LCM em inglês) de
,
e
.
Explicando o conceito que vamos usar: o MMC de vários números é obtido pegando os fatores primos comuns e não comuns com seus maiores expoentes. Em palavras simples: fatoramos cada número, escolhemos cada primo com a maior potência em que aparece entre as fatorações, e multiplicamos tudo. Vou mostrar passo a passo.
Passo 3
Fatoramos os números:
Aqui cada expressão mostra a decomposição em primos. Note que o primo
aparece com expoente
em
e
, e com expoente
em
.
Passo 4
Para o MMC, pegamos cada primo com o maior expoente observado:
- primo
: maior expoente é (vindo de ), então tomamos ; - primo
: aparece com expoente (vindo de ), então tomamos ; - primo
: aparece com expoente (vindo de ), então tomamos .
Logo,
Passo 5
Calculando o produto:
Portanto o menor número de dias após
de abril de
em que os três voltarão a coincidir é
dias.
Passo 6
Agora vamos somar
dias a partir de
de abril de
. Para isso eu uso os comprimentos dos meses de
(ano não bissexto): abril
dias, maio
, junho
, julho
, agosto
. Vou somar mês a mês de forma clara para você conseguir reproduzir na prova sem calculadora.
Contagem dos dias restantes em abril após o dia
:
Se eu consumir esses
dias, sobram
dias a avançar a partir de
de maio de
.
Consumo em maio (
dias):
Ainda faltam
dias após
de junho.
Consumo em junho (
dias):
Ainda faltam
dias após
de julho.
Consumo em julho (
dias):
Após usar todo o mês de julho, restam
dias a contar a partir de
de agosto.
Passo 7
Portanto o dia buscado é o
-ésimo dia de agosto de
, ou seja:
Verificação modular rápida (para ter segurança):
é divisível por
, por
e por
, então se adicionarmos
dias a
de abril obteremos uma data em que cada um retorna (Marcos:
é múltiplo de
; Gabriela: múltiplo de
; Renata: múltiplo de
). Calculamos que essa data é
de agosto de
, então a verificação bate.