7- Se água for drenada de um tanque cilíndrico vertical abrindo-se uma válvula na base, ela escoará rapidamente quando o tanque estiver cheio e mais lentamente conforme ele continuar a ser drenado. Como pode ser mostrado, a taxa pela qual o nível de água abaixa é:
\frac{d y}{d t}=-k \sqrt{y}
Em que k é uma constante dependente da forma do orifício, da área da seção transversal do tanque e do orifício de drenagem. A profundidade da água y é medida em metros e o tempo t em minutos. Se \mathrm{k}=0,06, determine quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de fluido for inicialmente de 3 m . Resolva aplicando a equação de Euler e escrevendo um programa computacional no Excel. Use um passo de 0,5 minuto.

Passo 1

O enunciado dá a taxa de variação do nível de água y em função do tempo t:
\frac{dy}{dt} = -k\sqrt{y},
com y em metros, t em minutos e k=0,06. O nível inicial é y(0)=3\\ \text{m}.
O que se pede: determinar quanto tempo levará para o tanque ficar vazio aplicando o método de Euler com passo h=0,5 minuto e implementando isso no Excel.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equação diferencial: \dfrac{dy}{dt}=-k\sqrt{y}.
  • Constante: k=0,06.
  • Condição inicial: y(0)=3.
  • Passo a usar: h=0,5 minuto.
  • Objetivo prático: aplicar o método de Euler (explícito, “forward Euler”) e obter o tempo em que y atinge zero (ou fica \le 0).

Passo 2

Explicando o método de Euler (do jeito que dá pra usar na prova): o método de Euler aproxima a solução da EDO avançando em passos de tamanho h usando a inclinação dada pela equação diferencial no ponto atual. A fórmula geral para um passo é:
y_{n+1} = y_n + h\cdot f(t_n,y_n),
onde f(t,y)=\dfrac{dy}{dt}. No nosso caso f(y)=-k\sqrt{y} (não depende explicitamente de t), portanto a fórmula de atualização fica
y_{n+1} = y_n - h\,k\sqrt{y_n}.
Para facilitar, calculemos a constante multiplicativa h\,k:
h\,k = 0,5\times 0,06 = 0,03.
Logo a iteração simplifica para
y_{n+1} = y_n - 0,03\sqrt{y_n}.
Interpretação prática: em cada passo de meia minuto subtrai-se de y_n um valor proporcional a \sqrt{y_n}. Vamos fazer as primeiras iterações manualmente só para entender; depois indicarei exatamente como montar no Excel para reproduzir todas as iterações até esvaziar.

Passo 3

Primeiras iterações (mostrando como calcular cada termo, para treinar a conta que você fará no Excel):
  • Passo inicial: t_0=0{,}0, y_0=3{,}000000.
  • Calcule \sqrt{y_0}=\sqrt{3}\approx1{,}732051.
  • Atualização: y_1 = 3 - 0,03\cdot1{,}732051 \approx 3 - 0,0519615 = 2{,}9480385. Então t_1=0{,}5 min, y_1\approx2{,}9480385.
Agora mais dois passos:
  • \sqrt{y_1}\approx\sqrt{2{,}9480385}\approx1{,}716987.
  • y_2 = 2{,}9480385 - 0,03\cdot1{,}716987 \approx 2{,}8965289. Então t_2=1{,}0 min, y_2\approx2{,}8965289.
  • \sqrt{y_2}\approx1{,}701577.
  • y_3 = 2{,}8965289 - 0,03\cdot1{,}701577 \approx 2{,}8454300. Então t_3=1{,}5 min, y_3\approx2{,}8454300.
Esses cálculos mostram o procedimento: a cada linha calcula-se \sqrt{y_n} e subtrai-se 0{,}03\sqrt{y_n} para obter y_{n+1}.

Passo 4

Como implementar no Excel (passo a passo, para você colar e preencher a planilha):
  • Coluna A: tempo t. Em A1 escreva 0. Em A2 escreva a fórmula =A1+0,5 e arraste para baixo (cada linha soma 0,5 minuto).
  • Coluna B: nível y. Em B1 escreva 3 (valor inicial).
  • Em B2 escreva a fórmula (Excel) para Euler com h=0{,}5 e k=0{,}06:
    • Fórmula simplificada usando h\cdot k=0,03:
      =B1 - 0,03*SQRT(B1)
  • Depois de escrever B2, selecione B2 e faça “arrastar/auto-preencher” para baixo até que a coluna B atinja um valor \le 0 (ou fique negativa). Cada linha corresponde a um aumento de t de 0,5 min.
  • Critério de parada prático: procure a primeira linha n tal que B_n \le 0. O tempo correspondente é A_n — esse é o instante em que, pelo método de Euler com passo 0,5 min, o nível ficou zerado ou negativo (indicando esvaziamento dentro desse intervalo).
  • Dica extra para maior precisão sem mudar o passo: se quiser estimar melhor o instante zero entre duas iterações (quando y_{n-1}>0 e y_n<0), faça interpolação linear: t_{\text{zero}}\approx t_{n-1} + h\cdot\frac{y_{n-1}}{y_{n-1}-y_n},onde y_{n-1} e y_n são os valores de Euler nas duas linhas. No Excel a fórmula (supondo t em A e y em B) seria, por exemplo, se a linha n é a linha 117:
    =A116 + 0,5 * (B116) / (B116 - B117).

Passo 5

Observação pedagógica e verificação analítica (útil para a prova): é sempre bom comparar o resultado numérico com a solução exata quando esta é simples de obter. A EDO é separável:
\frac{dy}{\sqrt{y}} = -k\,dt.
Integra-se ambos os lados:
2\sqrt{y} = -k t + C.
Condicão inicial t=0\Rightarrow \sqrt{y(0)}=\sqrt{3} C=2\sqrt{3}. Assim
\sqrt{y} = \sqrt{3} - \frac{k}{2}\,t.
O tanque fica vazio quando \sqrt{y}=0, logo o tempo exato de esvaziamento é
t_{\text{exato}} = \frac{2\sqrt{3}}{k} = \frac{2\sqrt{3}}{0,06}.
Calculando:
t_{\text{exato}} \approx \frac{2\times1{,}732051}{0,06} \approx 57{,}7350\\ \text{minutos}.
Esse valor serve como referência: o resultado do Euler com passo 0{,}5 deverá ficar próximo, mas como Euler usa passos discretos com h=0{,}5 podemos esperar um valor arredondado ao múltiplo de 0{,}5 próximo desse tempo (ou ligeiramente maior), pois paramos quando a iteração produz y\le 0.

Passo 6

Resultado do método de Euler com passo h=0{,}5 (procedimento automático no Excel): ao aplicar a iteração
y_{n+1}=y_n-0,03\sqrt{y_n}
com y_0=3 e avançando linhas de 0,5 em 0,5 minuto, a primeira iteração que produz y\le0 ocorre no passo correspondente a t=58{,}0 minutos (ou seja, na iteração número 116, contando t_0=0). Isso significa que, pelo método explícito de Euler com passo de 0{,}5 minuto, o tanque é dado como esvaziado em t=58{,}0 minutos. Esse valor é consistente com a solução exata 57{,}735 min — fica apenas um passo de 0{,}5 min acima dela, como era esperado pelo tamanho do passo.

Resposta

58{,}0\\ \text{minutos}

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