7- Se água for drenada de um tanque cilíndrico vertical abrindo-se uma válvula na base, ela escoará rapidamente quando o tanque estiver cheio e mais lentamente conforme ele continuar a ser drenado. Como pode ser mostrado, a taxa pela qual o nível de água abaixa é:
Em que k é uma constante dependente da forma do orifício, da área da seção transversal do tanque e do orifício de drenagem. A profundidade da água y é medida em metros e o tempo t em minutos. Se
, determine quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de fluido for inicialmente de 3 m . Resolva aplicando a equação de Euler e escrevendo um programa computacional no Excel. Use um passo de 0,5 minuto.
Em que k é uma constante dependente da forma do orifício, da área da seção transversal do tanque e do orifício de drenagem. A profundidade da água y é medida em metros e o tempo t em minutos. Se
Passo 1
O enunciado dá a taxa de variação do nível de água
em função do tempo
:
com
em metros,
em minutos e
. O nível inicial é
.
O que se pede: determinar quanto tempo levará para o tanque ficar vazio aplicando o método de Euler com passo minuto e implementando isso no Excel.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que se pede: determinar quanto tempo levará para o tanque ficar vazio aplicando o método de Euler com passo
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Equação diferencial:
. - Constante:
. - Condição inicial:
. - Passo a usar:
minuto. - Objetivo prático: aplicar o método de Euler (explícito, “forward Euler”) e obter o tempo em que
atinge zero (ou fica ).
Passo 2
Explicando o método de Euler (do jeito que dá pra usar na prova): o método de Euler aproxima a solução da EDO avançando em passos de tamanho
usando a inclinação dada pela equação diferencial no ponto atual. A fórmula geral para um passo é:
onde
. No nosso caso
(não depende explicitamente de
), portanto a fórmula de atualização fica
Para facilitar, calculemos a constante multiplicativa
:
Logo a iteração simplifica para
Interpretação prática: em cada passo de meia minuto subtrai-se de
um valor proporcional a
. Vamos fazer as primeiras iterações manualmente só para entender; depois indicarei exatamente como montar no Excel para reproduzir todas as iterações até esvaziar.
Passo 3
Primeiras iterações (mostrando como calcular cada termo, para treinar a conta que você fará no Excel):
- Passo inicial:
, . - Calcule
. - Atualização:
. Então min, .
Agora mais dois passos:
-
. -
. Então min, . -
. -
. Então min, .
Esses cálculos mostram o procedimento: a cada linha calcula-se
e subtrai-se
para obter
.
Passo 4
Como implementar no Excel (passo a passo, para você colar e preencher a planilha):
- Coluna A: tempo
. Em A1 escreva . Em A2 escreva a fórmula =A1+0,5 e arraste para baixo (cada linha soma 0,5 minuto). - Coluna B: nível
. Em B1 escreva (valor inicial). - Em B2 escreva a fórmula (Excel) para Euler com
e : - Fórmula simplificada usando
:
=B1 - 0,03*SQRT(B1)
- Fórmula simplificada usando
- Depois de escrever B2, selecione B2 e faça “arrastar/auto-preencher” para baixo até que a coluna B atinja um valor
(ou fique negativa). Cada linha corresponde a um aumento de de 0,5 min. - Critério de parada prático: procure a primeira linha
tal que . O tempo correspondente é A_n — esse é o instante em que, pelo método de Euler com passo 0,5 min, o nível ficou zerado ou negativo (indicando esvaziamento dentro desse intervalo). - Dica extra para maior precisão sem mudar o passo: se quiser estimar melhor o instante zero entre duas iterações (quando
e ), faça interpolação linear: onde e são os valores de Euler nas duas linhas. No Excel a fórmula (supondo em A e em B) seria, por exemplo, se a linha n é a linha 117:
=A116 + 0,5 * (B116) / (B116 - B117).
Passo 5
Observação pedagógica e verificação analítica (útil para a prova): é sempre bom comparar o resultado numérico com a solução exata quando esta é simples de obter. A EDO é separável:
Integra-se ambos os lados:
Condicão inicial
dá
. Assim
O tanque fica vazio quando
, logo o tempo exato de esvaziamento é
Calculando:
Esse valor serve como referência: o resultado do Euler com passo
deverá ficar próximo, mas como Euler usa passos discretos com
podemos esperar um valor arredondado ao múltiplo de
próximo desse tempo (ou ligeiramente maior), pois paramos quando a iteração produz
.
Passo 6
Resultado do método de Euler com passo
(procedimento automático no Excel): ao aplicar a iteração
com
e avançando linhas de 0,5 em 0,5 minuto, a primeira iteração que produz
ocorre no passo correspondente a
minutos (ou seja, na iteração número 116, contando
). Isso significa que, pelo método explícito de Euler com passo de
minuto, o tanque é dado como esvaziado em
minutos. Esse valor é consistente com a solução exata
min — fica apenas um passo de
min acima dela, como era esperado pelo tamanho do passo.