Usando os métodos de Euler, Heun e do Ponto médio tomando
, calcule
para cada um dos problemas dados a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: usando os métodos de Euler, Heun e do ponto médio com passo
Informações dadas e consequências imediatas:
- A função do lado direito é
.
- Queremos avançar deaté . Logo são passos: para .
- Valores iniciais:, .
A partir daqui vou aplicar cada método passo a passo para obter, que é .]
Passo 2
Método de Euler explícito (fórmula e ideia).
- Fórmula do método (passo a passo):
- O que significa cada símbolo:
-
é a aproximação para ; -
é o tamanho do passo; -
é a inclinação no ponto .
A ideia é: usar a inclinação no início do subintervalo para avançar linearmente até o próximo ponto.
-
Passo 3
Aplicando Euler para cada passo (cálculos mostrados):
-
: , .
-
: , .
Passo 4
Continuação Euler:
-
: , .
-
: , .
Passo 5
Último passo Euler:
-
: , .
Assim, pelo método de Euler obtemos aproximadamente
.
Passo 6
Método de Heun (também chamado método do trapézio explícito/improved Euler): fórmula e ideia.
- Fórmula (para cada passo):
- Calcular
. - Fazer o preditor por Euler:
(é a previsão de ). - Calcular
. - Corrigir com a média das inclinações:
- Calcular
- Ideia: média entre a inclinação no início (
) e a inclinação na previsão do fim ( ), dá segunda ordem de precisão.
Passo 7
Heun: passos iniciais (n=0 e n=1):
-
: , .
-
: , .
Passo 8
Heun: passos intermediários (n=2 e n=3):
-
: , .
-
: , .
Passo 9
Heun: último passo (n=4 para chegar em
):
-
: , .
Assim, pelo método de Heun obtemos aproximadamente
.
Passo 10
Método do ponto médio (fórmula e ideia).
- Fórmula (método de Runge–Kutta de ordem 2, ponto médio):
-
. - Avaliar no ponto médio:
e . -
. - Avançar:
.
-
- Ideia: usa a inclinação no ponto médio do intervalo (obtida com um preditor de meio-passo), também dá método de segunda ordem.
Passo 11
Ponto médio: primeiros passos (n=0 e n=1):
-
: , .
-
: , .
Passo 12
Ponto médio: passos intermediários (n=2 e n=3):
-
: , .
-
: , .
Passo 13
Ponto médio: último passo (n=4 para
):
-
: , .
Assim, pelo método do ponto médio obtemos aproximadamente
.
Resposta
Euler:
Heun:
Ponto médio: