Usando os métodos de Euler, Heun e do Ponto médio tomando \mathrm{h}=0,1, calcule \mathrm{y}(0,5) para cada um dos problemas dados a seguir:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=x^{2}+y^{2} \\\ y(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: usando os métodos de Euler, Heun e do ponto médio com passo h=0,1\), calcular \(y(0,5)\) para o problema inicial \[\begin{cases} y' = x^{2} + y^{2},\\[4pt] y(0)=0. \end{cases}
Informações dadas e consequências imediatas:
  • A função do lado direito é f(x,y)=x^{2}+y^{2}\]. - O passo é \(h=0,1.
    - Queremos avançar de x_{0}=0 até x_{5}=0,5. Logo são 5 passos: x_{n}=0,1n para n=0,1,2,3,4,5.
    - Valores iniciais: x_{0}=0, y_{0}=0.
    A partir daqui vou aplicar cada método passo a passo para obter y_{5}, que é y(0,5).]

Passo 2

Método de Euler explícito (fórmula e ideia).
  • Fórmula do método (passo a passo):
y_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n}).
  • O que significa cada símbolo:
    • y_{n} é a aproximação para y(x_{n});
    • h é o tamanho do passo;
    • f(x_{n},y_{n}) é a inclinação no ponto (x_{n},y_{n}).
      A ideia é: usar a inclinação no início do subintervalo para avançar linearmente até o próximo ponto.

Passo 3

Aplicando Euler para cada passo (cálculos mostrados):
  • n=0: x_{0}=0, y_{0}=0. f(x_{0},y_{0})=0^{2}+0^{2}=0.
y_{1}=y_{0}+0,1\cdot 0 = 0.
  • n=1: x_{1}=0,1, y_{1}=0. f(x_{1},y_{1})=(0,1)^{2}+0^{2}=0,01.
y_{2}=0+0,1\cdot 0,01=0,001.

Passo 4

Continuação Euler:
  • n=2: x_{2}=0,2, y_{2}=0,001. f(x_{2},y_{2})=(0,2)^{2}+(0,001)^{2}=0,04+0,000001=0,040001.
y_{3}=0,001+0,1\cdot 0,040001=0,001+0,0040001=0,0050001.
  • n=3: x_{3}=0,3, y_{3}=0,0050001. f(x_{3},y_{3})=(0,3)^{2}+(0,0050001)^{2}=0,09+0,00002500100001\approx 0,09002500100001.
y_{4}=0,0050001+0,1\cdot 0,09002500100001\approx 0,0050001+0,009002500100001=0,014002600100001.

Passo 5

Último passo Euler:
  • n=4: x_{4}=0,4, y_{4}\approx 0,014002600100001. f(x_{4},y_{4})=(0,4)^{2}+(0,014002600100001)^{2}=0,16+0,0001960728\approx 0,1601960728.
y_{5}=y_{4}+0,1\cdot f(x_{4},y_{4})\approx 0,014002600100001+0,1\cdot 0,1601960728
\phantom{y_{5}} \approx 0,014002600100001+0,01601960728=0,030022207380001.
Assim, pelo método de Euler obtemos aproximadamente y(0,5)\approx 0,03002221.

Passo 6

Método de Heun (também chamado método do trapézio explícito/improved Euler): fórmula e ideia.
  • Fórmula (para cada passo):
    1. Calcular k_{1}=f(x_{n},y_{n}).
    2. Fazer o preditor por Euler: \tilde{y}=y_{n}+h\,k_{1} (é a previsão de y_{n+1}).
    3. Calcular k_{2}=f(x_{n}+h,\tilde{y}).
    4. Corrigir com a média das inclinações:
    y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{2}\bigl(k_{1}+k_{2}\bigr).
  • Ideia: média entre a inclinação no início ( k_{1}) e a inclinação na previsão do fim ( k_{2}), dá segunda ordem de precisão.

Passo 7

Heun: passos iniciais (n=0 e n=1):
  • n=0: x_{0}=0, y_{0}=0. k_{1}=f(0,0)=0,\qquad \tilde{y}=0+0,1\cdot 0=0,
k_{2}=f(0,1,0)=f(0,1)=0,01\quad\text{(note: peguei \(0,1\) de \(x_{1}\))},
y_{1}=0+\frac{0,1}{2}(0+0,01)=0,0005.
  • n=1: x_{1}=0,1, y_{1}=0,0005. k_{1}=f(0,1,0,0005)=0,01+(0,0005)^{2}=0,01000025.
\tilde{y}=0,0005+0,1\cdot 0,01000025=0,001500025.
k_{2}=f(0,2,\tilde{y})=f(0,2,0,001500025)=0,04+(0,001500025)^{2}=0,040002250075000625.
y_{2}=0,0005+\frac{0,1}{2}\bigl(0,01000025+0,040002250075000625\bigr)\approx 0,00300012500375003125.

Passo 8

Heun: passos intermediários (n=2 e n=3):
  • n=2: x_{2}=0,2, y_{2}\approx 0,00300012500375003125. k_{1}=0,04+y_{2}^{2}\approx 0,0400090000007500225.
\tilde{y}=y_{2}+0,1\cdot k_{1}\approx 0,00700102500382500225.
k_{2}=0,09+\tilde{y}^{2}\approx 0,090049014350026.
y_{3}=y_{2}+\frac{0,1}{2}(k_{1}+k_{2})\approx 0,0095030257212888.
  • n=3: x_{3}=0,3, y_{3}\approx 0,0095030257212888. k_{1}=0,09+y_{3}^{2}\approx 0,0900903074887047.
\tilde{y}=y_{3}+0,1\cdot k_{1}\approx 0,01851205647015927.
k_{2}=0,16+\tilde{y}^{2}\approx 0,160342618476128.
y_{4}=y_{3}+\frac{0,1}{2}(k_{1}+k_{2})\approx 0,022024673946288.

Passo 9

Heun: último passo (n=4 para chegar em x_{5}=0,5):
  • n=4: x_{4}=0,4, y_{4}\approx 0,022024673946288. k_{1}=0,16+y_{4}^{2}\approx 0,160485085.
\tilde{y}=y_{4}+0,1\cdot k_{1}\approx 0,038073182446288.
k_{2}=0,25+\tilde{y}^{2}\approx 0,251449737 (aprox.).
y_{5}=y_{4}+\frac{0,1}{2}(k_{1}+k_{2})\approx 0,042621406196288.
Assim, pelo método de Heun obtemos aproximadamente y(0,5)\approx 0,04262141.

Passo 10

Método do ponto médio (fórmula e ideia).
  • Fórmula (método de Runge–Kutta de ordem 2, ponto médio):
    1. k_{1}=f(x_{n},y_{n}).
    2. Avaliar no ponto médio: \displaystyle y_{n+\frac{1}{2}}=y_{n}+\frac{h}{2}k_{1} e x_{n+\frac{1}{2}}=x_{n}+\frac{h}{2}.
    3. k_{2}=f\bigl(x_{n+\frac{1}{2}},y_{n+\frac{1}{2}}\bigr).
    4. Avançar: y_{n+1}=y_{n}+h\,k_{2}.
  • Ideia: usa a inclinação no ponto médio do intervalo (obtida com um preditor de meio-passo), também dá método de segunda ordem.

Passo 11

Ponto médio: primeiros passos (n=0 e n=1):
  • n=0: x_{0}=0, y_{0}=0. k_{1}=0,\quad y_{0+\frac{1}{2}}=0+0,05\cdot 0=0,\quad k_{2}=f(0,05,0)=0,05^{2}=0,0025,
y_{1}=0+0,1\cdot 0,0025=0,00025.
  • n=1: x_{1}=0,1, y_{1}=0,00025. k_{1}=0,01+(0,00025)^{2}=0,0100000625,
y_{1+\frac{1}{2}}=0,00025+0,05\cdot 0,0100000625=0,000750003125,
k_{2}=f(0,15,0,000750003125)=0,0225+(0,000750003125)^{2}\approx 0,0225005625046875,
y_{2}=0,00025+0,1\cdot 0,0225005625046875=0,00250005625046875.

Passo 12

Ponto médio: passos intermediários (n=2 e n=3):
  • n=2: x_{2}=0,2, y_{2}\approx 0,00250005625046875. k_{1}=0,04+y_{2}^{2}\approx 0,04000625000028125,
y_{2+\frac{1}{2}}=y_{2}+0,05\cdot k_{1}\approx 0,0045003687504828126,
k_{2}=f(0,25,y_{2+\frac{1}{2}})=0,0625+y_{2+\frac{1}{2}}^{2}\approx 0,06252025331875435,
y_{3}=y_{2}+0,1\cdot k_{2}\approx 0,008752081582344185.
  • n=3: x_{3}=0,3, y_{3}\approx 0,008752081582344185. k_{1}=0,09+y_{3}^{2}\approx 0,090076598927685,
y_{3+\frac{1}{2}}=y_{3}+0,05\cdot k_{1}\approx 0,013255911528728419,
k_{2}=f(0,35,y_{3+\frac{1}{2}})=0,1225+y_{3+\frac{1}{2}}^{2}\approx 0,122676.
y_{4}=y_{3}+0,1\cdot k_{2}\approx 0,021019653082344185.

Passo 13

Ponto médio: último passo (n=4 para x_{5}=0,5):
  • n=4: x_{4}=0,4, y_{4}\approx 0,021019653082344185. k_{1}=0,16+y_{4}^{2}\approx 0,1604418255,
y_{4+\frac{1}{2}}=y_{4}+0,05\cdot k_{1}\approx 0,029041744357344185,
k_{2}=f(0,45,y_{4+\frac{1}{2}})=0,2025+y_{4+\frac{1}{2}}^{2}\approx 0,2033439318,
y_{5}=y_{4}+0,1\cdot k_{2}\approx 0,041353993182344185.
Assim, pelo método do ponto médio obtemos aproximadamente y(0,5)\approx 0,04135399.

Resposta

Euler: 0,03002221
Heun: 0,04262141
Ponto médio: 0,04135399

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