Usando os métodos de Euler, Heun e do Ponto médio tomando \mathrm{h}=0,1, calcule \mathrm{y}(0,5) para cada um dos problemas dados a seguir:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=x-y^{2} \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: usando os métodos de Euler explícito, Heun (método de Heun/Heun melhorado) e do ponto médio com passo h=0,1\), calcular \(y(0,5)\) para o problema inicial \[\begin{cases} y' = x - y^{2},\\[4pt] y(0)=1. \end{cases}
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função de taxa é f(x,y)=x-y^{2}\]. - Condição inicial: \(x_{0}=0, y_{0}=1.
    - Passo: h=0,1.
    - Queremos y em x=0,5. Como 0,5-0 = 0,5 e h=0,1, serão n=\dfrac{0,5}{0,1}=5 passos: x_{k}=0,1k para k=0,1,\dots,5.
    Vou calcular iterativamente os valores até x_{5}=0,5 para cada método.]

Passo 2

Método de Euler explícito (fórmula e ideia).
  • Fórmula: para cada passo
y_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n}).
  • Aqui y_{n} é a aproximação de y(x_{n}), h é o passo e f(x_{n},y_{n}) é a derivada avaliada no ponto atual. O método usa a inclinação no começo do intervalo para extrapolar linearmente até x_{n+1}.

Passo 3

Aplicando Euler explícito passo a passo. Vou mostrar x_{n}, y_{n}, f(x_{n},y_{n}) e a atualização.
  • Inicial: x_{0}=0, y_{0}=1.
  1. n=0: \;f(0,1)=0-1^{2}=-1.
y_{1}=1+0,1\cdot(-1)=1-0,1=0,9.
  1. n=1: x_{1}=0,1. \;f(0,1,0,9)=0,1-(0,9)^{2}=0,1-0,81=-0,71.
y_{2}=0,9+0,1\cdot(-0,71)=0,9-0,071=0,829.
  1. n=2: x_{2}=0,2. \;f(0,2,0,829)=0,2-(0,829)^{2}=0,2-0,687241=-0,487241.
y_{3}=0,829+0,1\cdot(-0,487241)=0,829-0,0487241=0,7802759.
  1. n=3: x_{3}=0,3. \;f(0,3,0,7802759)=0,3-(0,7802759)^{2}\approx0,3-0,608830\approx-0,308830.
y_{4}\approx0,7802759+0,1\cdot(-0,308830)=0,7802759-0,0308830\approx0,7493929.
  1. n=4: x_{4}=0,4. \;f(0,4,0,7493929)=0,4-(0,7493929)^{2}\approx0,4-0,5615899\approx-0,1615899.
y_{5}\approx0,7493929+0,1\cdot(-0,1615899)=0,7493929-0,01615899\approx0,73323391.
Aproximação final pelo método de Euler em x=0,5:
y(0,5)\approx0,7332339.

Passo 4

Método de Heun (Heun explícito / método trapezoidal explícito) — fórmula e ideia.
  • Heun faz um predictor (Euler explícito) e um corrector (média das inclinações inicial e final estimada):
\begin{aligned} \tilde{y}_{n+1} &= y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n})\quad\text{(previsor)},\\[4pt] y_{n+1} &= y_{n}+\dfrac{h}{2}\bigl(f(x_{n},y_{n})+f(x_{n+1},\tilde{y}_{n+1})\bigr). \end{aligned}
  • Aqui f(x_{n+1},\tilde{y}_{n+1}) é a inclinação estimada no final do passo usando o previsor, e o método usa a média das inclinações para avançar.]

Passo 5

Aplicando Heun passo a passo (mostrando previsor \tilde{y}, as inclinações e o corrector).
  • Inicial: x_{0}=0, y_{0}=1.
  1. n=0: f_{0}=f(0,1)=-1.
    \tilde{y}_{1}=1+0,1\cdot(-1)=0,9.
    f_{1}=f(0,1,0,9)=0,1-(0,9)^{2}=-0,71.
y_{1}=1+\tfrac{0,1}{2}(-1-0,71)=1+0,05(-1,71)=1-0,0855=0,9145.
  1. n=1: x_{1}=0,1, y_{1}=0,9145.
    f_{1}=0,1-(0,9145)^{2}=-0,73631025.
    \tilde{y}_{2}=0,9145+0,1\cdot(-0,73631025)=0,840868975.
    f_{2}=f(0,2,\tilde{y}_{2})=0,2-(0,840868975)^{2}\approx-0,5070598.
y_{2}=0,9145+\tfrac{0,1}{2}(-0,73631025-0,5070598)\approx0,8523315.
  1. n=2: x_{2}=0,2, y_{2}\approx0,8523315.
    f_{2}=0,2-(0,8523315)^{2}\approx-0,52646896.
    \tilde{y}_{3}=0,8523315+0,1\cdot(-0,52646896)=0,799684604.
    f_{3}=f(0,3,\tilde{y}_{3})=0,3-(0,799684604)^{2}\approx-0,33949546.
y_{3}\approx0,8523315+\tfrac{0,1}{2}(-0,52646896-0,33949546)\approx0,8090333.
  1. n=3: x_{3}=0,3, y_{3}\approx0,8090333.
    f_{3}=0,3-(0,8090333)^{2}\approx-0,35453493.
    \tilde{y}_{4}=0,8090333+0,1\cdot(-0,35453493)=0,773579807.
    f_{4}=f(0,4,\tilde{y}_{4})=0,4-(0,773579807)^{2}\approx-0,198426.
y_{4}\approx0,8090333+\tfrac{0,1}{2}(-0,35453493-0,198426)\approx0,7813853.
  1. n=4: x_{4}=0,4, y_{4}\approx0,7813853.
    f_{4}=0,4-(0,7813853)^{2}\approx-0,21056299.
    \tilde{y}_{5}=0,7813853+0,1\cdot(-0,21056299)=0,760329001.
    f_{5}=f(0,5,\tilde{y}_{5})=0,5-(0,760329001)^{2}\approx-0,07810019.
y_{5}\approx0,7813853+\tfrac{0,1}{2}(-0,21056299-0,07810019)\approx0,76695214.
Aproximação final pelo método de Heun em x=0,5:
y(0,5)\approx0,7669521.

Passo 6

Método do ponto médio (método de Runge–Kutta de ordem 2, forma do ponto médio) — fórmula e ideia.
  • Fórmula:
\begin{aligned} k_{1} &= f(x_{n},y_{n}),\\[4pt] k_{2} &= f\bigl(x_{n}+\tfrac{h}{2},\,y_{n}+\tfrac{h}{2}k_{1}\bigr),\\[4pt] y_{n+1} &= y_{n}+h\,k_{2}. \end{aligned}
  • Ideia: usa a inclinação no ponto médio do intervalo (avaliada numa estimativa do estado naquele meio-passo), o que dá maior precisão que Euler explícito.]

Passo 7

Aplicando o método do ponto médio passo a passo.
  • Inicial: x_{0}=0, y_{0}=1.
  1. n=0: k_{1}=f(0,1)=-1.
    \;y_{n}+\tfrac{h}{2}k_{1}=1+0,05\cdot(-1)=0,95.
    k_{2}=f(0,05,0,95)=0,05-(0,95)^{2}=0,05-0,9025=-0,8525.
y_{1}=1+0,1\cdot(-0,8525)=0,91475.
  1. n=1: x_{1}=0,1, y_{1}=0,91475.
    k_{1}=0,1-(0,91475)^{2}\approx-0,7367675625.
    Meio: y_{1}+0,05k_{1}\approx0,877911622.
    k_{2}=f(0,15,0,877911622)\approx0,15-(0,877911622)^{2}\approx-0,62072878.
y_{2}\approx0,91475+0,1\cdot(-0,62072878)=0,852677122.
  1. n=2: x_{2}=0,2, y_{2}\approx0,852677122.
    k_{1}=0,2-(0,852677122)^{2}\approx-0,5270582.
    Meio: y_{2}+0,05k_{1}\approx0,826324212.
    k_{2}=f(0,25,0,826324212)\approx0,25-(0,826324212)^{2}\approx-0,43281167.
y_{3}\approx0,852677122+0,1\cdot(-0,43281167)=0,809395955.
  1. n=3: x_{3}=0,3, y_{3}\approx0,809395955.
    k_{1}=0,3-(0,809395955)^{2}\approx-0,355121885.
    Meio: y_{3}+0,05k_{1}\approx0,791639861.
    k_{2}=f(0,35,0,791639861)\approx0,35-(0,791639861)^{2}\approx-0,27669569.
y_{4}\approx0,809395955+0,1\cdot(-0,27669569)=0,781726386.
  1. n=4: x_{4}=0,4, y_{4}\approx0,781726386.
    k_{1}=0,4-(0,781726386)^{2}\approx-0,21109554.
    Meio: y_{4}+0,05k_{1}\approx0,771171609.
    k_{2}=f(0,45,0,771171609)\approx0,45-(0,771171609)^{2}\approx-0,144705637.
y_{5}\approx0,781726386+0,1\cdot(-0,144705637)=0,7672558223.
Aproximação final pelo método do ponto médio em x=0,5:
y(0,5)\approx0,7672558.

Resposta

Euler explícito: y(0,5)\approx0,7332339
Heun: y(0,5)\approx0,7669521
Ponto médio: y(0,5)\approx0,7672558

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