Usando os métodos de Euler, Heun e do Ponto médio tomando
, calcule
para cada um dos problemas dados a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: usando os métodos de Euler explícito, Heun (método de Heun/Heun melhorado) e do ponto médio com passo
Informações dadas e observações iniciais:
- A função de taxa é
,
.
- Passo:.
- Queremosem . Como e , serão passos: para .
Vou calcular iterativamente os valores atépara cada método.]
Passo 2
Método de Euler explícito (fórmula e ideia).
- Fórmula: para cada passo
- Aqui
é a aproximação de , é o passo e é a derivada avaliada no ponto atual. O método usa a inclinação no começo do intervalo para extrapolar linearmente até .
Passo 3
Aplicando Euler explícito passo a passo. Vou mostrar
,
,
e a atualização.
- Inicial:
, .
-
: .
-
: . .
-
: . .
-
: . .
-
: . .
Aproximação final pelo método de Euler em
:
Passo 4
Método de Heun (Heun explícito / método trapezoidal explícito) — fórmula e ideia.
- Heun faz um predictor (Euler explícito) e um corrector (média das inclinações inicial e final estimada):
- Aqui
é a inclinação estimada no final do passo usando o previsor, e o método usa a média das inclinações para avançar.]
Passo 5
Aplicando Heun passo a passo (mostrando previsor
, as inclinações e o corrector).
- Inicial:
, .
-
: .
.
.
-
: , .
.
.
.
-
: , .
.
.
.
-
: , .
.
.
.
-
: , .
.
.
.
Aproximação final pelo método de Heun em
:
Passo 6
Método do ponto médio (método de Runge–Kutta de ordem 2, forma do ponto médio) — fórmula e ideia.
- Fórmula:
- Ideia: usa a inclinação no ponto médio do intervalo (avaliada numa estimativa do estado naquele meio-passo), o que dá maior precisão que Euler explícito.]
Passo 7
Aplicando o método do ponto médio passo a passo.
- Inicial:
, .
-
: .
.
.
-
: , .
.
Meio:.
.
-
: , .
.
Meio:.
.
-
: , .
.
Meio:.
.
-
: , .
.
Meio:.
.
Aproximação final pelo método do ponto médio em
:
Resposta
Euler explícito:
Heun:
Ponto médio:
Heun:
Ponto médio: