Ainda com relação a essa função
, denote agora
Considere o polinômio interpolador de grau 2 ,
, passando por
. Sabendo que
demonstre a regra
de Simpson:
Passo 1
Beleza, vamos recapitular: a questão pede para aproximar
usando o polinômio interpolador de grau 2 que passa pelos pontos
onde
O conteúdo principal é interpolação de Lagrange e quadratura numérica. Para resolver a gente vai:
1) montar o polinômio de Lagrange de grau 2,
2) integrar esse polinômio explicitamente,
3) coletar os termos e chegar na fórmula de Simpson 1/3.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o polinômio interpolador em forma de base de Lagrange:
onde, por exemplo,
Para simplificar a integração, fazemos a mudança de variável
Então
$$L_0(t)=\frac{(t-h)(t-2h)}{(0-h)(0-2h)}
=\frac{t2-3ht+2h2}{2h^2},$$
Passo 3
Agora integramos cada base de
até
:
- ∫L₀:
- ∫L₁:
- ∫L₂: por simetria ou cálculo direto dá
Passo 4
Como
$$\int_{x_0}^{x_2}p_2(x),dx
=\int_0^{2h}\bigl[f(x_0)L_0(t)+f(x_1)L_1(t)+f(x_2)L_2(t)\bigr]dt
f(x_0)\frac{h}{3}+f(x_1)\frac{4h}{3}+f(x_2)\frac{h}{3}
=\frac{h}{3}\bigl[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr].$$