Ainda com relação a essa função f, denote agora
x0=a, x1=a+h, x2=b, onde h=b-a2
Considere o polinômio interpolador de grau 2 , p2(x), passando por (x0, f(x0)),(x1, f(x1)),(x2, f(x2)). Sabendo que
integralx0^x2 f(x) d x approx integralx0^x2 p2(x) d x
demonstre a regra 1 / 3 de Simpson:
integralx0^x2 f(x) d x approx h3[f(x0)+4 f(x1)+f(x2)]

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: a questão pede para aproximar
integralx0^x2f(x),dx
usando o polinômio interpolador de grau 2 que passa pelos pontos
(x0,f(x0)),;(x1,f(x1)),;(x2,f(x2))
onde
x0=a, x1=a+h, x2=b, h=b-a2,
O conteúdo principal é interpolação de Lagrange e quadratura numérica. Para resolver a gente vai:
1) montar o polinômio de Lagrange de grau 2,
2) integrar esse polinômio explicitamente,
3) coletar os termos e chegar na fórmula de Simpson 1/3.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o polinômio interpolador em forma de base de Lagrange:
p2(x)=f(x0),L0(x)+f(x1),L1(x)+f(x2),L2(x),,
onde, por exemplo,
L0(x)=(x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2),e assim por diante
Para simplificar a integração, fazemos a mudança de variável
t = x - a,, x = a + t
Então x0=ato t=0, x2=a+2hto t=2h. As bases ficam:
$$L_0(t)=\frac{(t-h)(t-2h)}{(0-h)(0-2h)}
=\frac{t2-3ht+2h2}{2h^2},$$
L0(t)=(t-h)(t-2h)(0-h)(0-2h) =t^2-3ht+2h^22h^2,

Passo 3

Agora integramos cada base de t=0 até t=2h:
  1. ∫L₀:
integral0^2h!L0(t),dt =12h^2integral0^2h(t^2-3ht+2h^2),dt =12h^2[tfract^33-tfrac3h,t^22+2h^2,t]0^2h =h3
  1. ∫L₁:
integral0^2h!L1(t),dt =1h^2integral0^2h(2ht-t^2),dt =1h^2[h,t^2-tfract^33]0^2h =4h3
  1. ∫L₂: por simetria ou cálculo direto dá
integral0^2h!L2(t),dt=h3

Passo 4

Como
$$\int_{x_0}^{x_2}p_2(x),dx
=\int_0^{2h}\bigl[f(x_0)L_0(t)+f(x_1)L_1(t)+f(x_2)L_2(t)\bigr]dt integralx0^x2p2(x),dx =integral0^2hl[f(x0)L0(t)+f(x1)L1(t)+f(x2)L2(t)r]dtf(x_0)\frac{h}{3}+f(x_1)\frac{4h}{3}+f(x_2)\frac{h}{3}
=\frac{h}{3}\bigl[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr].$$

Resposta

boxedintegralx0^x2f(x),dxapproxh3l[f(x0)+4f(x1)+f(x2)r](Regra 1/3 de Simpson)

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