Provar que entre quaisquer 5 pontos escolhidos dentro de um triângulo equilátero de lado 1 sempre existe um par deles cuja distância não é maior que 0,5.
Passo 1
Beleza, o que a gente precisa mostrar aqui é o seguinte: num triângulo equilátero de lado 1, se você escolher 5 pontos quaisquer dentro dele, sempre vai existir pelo menos um par desses pontos cuja distância é no máximo 0,5.
Conteúdo: geometria (triângulos equiláteros) e o Princípio da Casa dos Pombos (Pigeonhole Principle).
O que vamos usar:
Conteúdo: geometria (triângulos equiláteros) e o Princípio da Casa dos Pombos (Pigeonhole Principle).
O que vamos usar:
- dividir o triângulo em 4 triângulos equiláteros menores de lado ½;
- aplicar o Princípio da Casa dos Pombos para garantir que dois pontos caiam no mesmo triângulo menor;
- lembrar que a maior distância entre dois pontos num triângulo equilátero de lado ½ é justamente ½.
Passo 2
Primeiro, pega o triângulo grande de lado 1 e marca o ponto médio de cada lado. Depois, liga esses três pontos médios, formando 4 triângulos equiláteros congruentes, cada um com lado
Isso acontece porque ao unir os pontos médios, cada segmento vale metade do lado original.
Passo 3
Agora entra o Princípio da Casa dos Pombos: se você tem 5 “pombos” (os pontos) e só 4 “casinhas” (os 4 triângulos menores), então em pelo menos uma casinha vão parar pelo menos
pombos. Ou seja, existe um desses triângulos de lado ½ que contém pelo menos 2 dos nossos 5 pontos.
Passo 4
Dentro de qualquer triângulo equilátero de lado
, a maior distância entre dois pontos que você pode ter é a distância entre dois vértices, ou seja, exatamente
Logo, esses dois pontos que caíram no mesmo triângulo menor estão separados por uma distância no máximo
.
Resposta
Portanto, entre quaisquer 5 pontos num triângulo equilátero de lado 1 sempre existe um par deles cuja distância não ultrapassa
.