Provar que entre quaisquer 5 pontos escolhidos dentro de um triângulo equilátero de lado 1 sempre existe um par deles cuja distância não é maior que 0,5.

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa mostrar aqui é o seguinte: num triângulo equilátero de lado 1, se você escolher 5 pontos quaisquer dentro dele, sempre vai existir pelo menos um par desses pontos cuja distância é no máximo 0,5.
Conteúdo: geometria (triângulos equiláteros) e o Princípio da Casa dos Pombos (Pigeonhole Principle).
O que vamos usar:
  1. dividir o triângulo em 4 triângulos equiláteros menores de lado ½;
  2. aplicar o Princípio da Casa dos Pombos para garantir que dois pontos caiam no mesmo triângulo menor;
  3. lembrar que a maior distância entre dois pontos num triângulo equilátero de lado ½ é justamente ½.

Passo 2

Primeiro, pega o triângulo grande de lado 1 e marca o ponto médio de cada lado. Depois, liga esses três pontos médios, formando 4 triângulos equiláteros congruentes, cada um com lado
12
Isso acontece porque ao unir os pontos médios, cada segmento vale metade do lado original.

Passo 3

Agora entra o Princípio da Casa dos Pombos: se você tem 5 “pombos” (os pontos) e só 4 “casinhas” (os 4 triângulos menores), então em pelo menos uma casinha vão parar pelo menos
llceil 54rrceil = 2
pombos. Ou seja, existe um desses triângulos de lado ½ que contém pelo menos 2 dos nossos 5 pontos.

Passo 4

Dentro de qualquer triângulo equilátero de lado 12 , a maior distância entre dois pontos que você pode ter é a distância entre dois vértices, ou seja, exatamente
Logo, esses dois pontos que caíram no mesmo triângulo menor estão separados por uma distância no máximo .

Resposta

Portanto, entre quaisquer 5 pontos num triângulo equilátero de lado 1 sempre existe um par deles cuja distância não ultrapassa .

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