Aproxime a função
no intervalo
por um polinômio de
grau, usand os valores de
com incremento de 0,1 .
Passo 1
O problema pede: aproximar a função
no intervalo
por um polinômio de terceiro grau, usando os valores de
com incremento de
.
Informações fornecidas e o que vou usar explicitamente:
Informações fornecidas e o que vou usar explicitamente:
- Valores de
são (total de pontos). - Nos pontos
usaremos . - Vou construir um polinômio de grau 3
que aproxime os
.
- Para usar todos os pontos com incremento
e obter um único polinômio de grau 3 eu vou aplicar o método dos mínimos quadrados (regressão polinomial de grau 3) sobre os 11 pontos. Isso significa escolher que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos .
(Observação: o enunciado não exige outro método específico, e usar todos os pontos com passo
naturalmente leva ao ajuste por mínimos quadrados. Nas próximas etapas eu explico a teoria dos mínimos quadrados e executo as contas passo a passo.)
Passo 2
Aula rápida: o método dos mínimos quadrados para ajuste por polinômio de grau 3.
- Se temos
pontos e um polinômio , as condições normais (equações normais) que definem os coeficientes são obtidas impondo que os resíduos são ortogonais às colunas do sistema. Isso dá o sistema linear
onde todas as somas são feitas sobre
.
- Explicando cada termo: a entrada
é a soma dos para todos os pontos; a entrada é a soma de . Depois de calcular essas somas, resolvemos o sistema linear para obter . - Vou calcular explicitamente todas as somas usando
com e .]
Passo 3
Calcular as somas
para
(essas dependem só dos
que são múltiplos de
). Como
com
, escrevo
. Usando fórmulas de somatório de potências inteiras:
-
. Logo . -
-
(usei ) -
(usei ) -
-
-
Assim temos:
Passo 4
Agora calculo as somas que envolvem
, ou seja
. Primeiro listo os valores
e
(usei valores numéricos aproximados com precisão suficiente para o ajuste):
Tabela (apenas os valores relevantes):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Com esses valores calculei as somas:
(Expliquei: para
somei
etc.; para
somei
, e assim por diante. Mostrei os produtos intermediários na conta para transparência.)
Passo 5
Escrevo o sistema normal com as somas obtidas. O sistema linear é
Agora resolvo esse sistema linear por eliminação de Gauss (mostro as etapas principais de eliminação e retro-substituição).]
Passo 6
Eliminação de Gauss (etapas principais):
- Usando
(primeira linha) para zerar as entradas da primeira coluna nas linhas 2,3,4:
-
dá
-
dá
-
dá
- Agora uso a nova
(com pivô ) para zerar as segundas colunas de e :
-
(pois ambos têm na segunda posição), resultando em
-
Para
uso o multiplicador e faço , obtendo
- Fica um sistema
para :
Passo 7
Resolvo o sistema
para
. Faço por fórmula de Cramer (ou eliminação simples):
- Determinante
- Numeradores:
- Portanto
(Estou arredondando as últimas casas; manter mais casas decimais é possível, mas esses valores já são suficientes para a aproximação.)
Passo 8
Agora obtenho
pela substituição numa das linhas já reduzidas; uso a linha
:
Isolando
:
Substituindo
e
:
Passo 9
Finalmente obtenho
substituindo em
:
Isolando
e substituindo os valores encontrados:
Passo 10
Resumo dos coeficientes obtidos (arredondados com 6 casas decimais para uso prático):
Logo a aproximação por mínimos quadrados (polinômio de grau 3) da função
em
usando os pontos com passo
é