Aproxime a função f(x)=\sqrt[3]{x} no intervalo [0,1] por um polinômio de 3^{\circ} grau, usand os valores de x com incremento de 0,1 .

Passo 1

O problema pede: aproximar a função \sqrt[3]{x} no intervalo [0,1] por um polinômio de terceiro grau, usando os valores de x com incremento de 0,1.
Informações fornecidas e o que vou usar explicitamente:
  • Valores de x são 0,0{,}1,0{,}2,\dots,1{,}0 (total de 11 pontos).
  • Nos pontos x_i usaremos y_i=f(x_i)=\sqrt[3]{x_i}.
  • Vou construir um polinômio de grau 3
P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3
que aproxime os y_i.
  • Para usar todos os pontos com incremento 0{,}1 e obter um único polinômio de grau 3 eu vou aplicar o método dos mínimos quadrados (regressão polinomial de grau 3) sobre os 11 pontos. Isso significa escolher a_0,a_1,a_2,a_3 que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos \sum_{i=0}^{10}(y_i-P(x_i))^2.
(Observação: o enunciado não exige outro método específico, e usar todos os pontos com passo 0{,}1 naturalmente leva ao ajuste por mínimos quadrados. Nas próximas etapas eu explico a teoria dos mínimos quadrados e executo as contas passo a passo.)

Passo 2

Aula rápida: o método dos mínimos quadrados para ajuste por polinômio de grau 3.
  • Se temos n pontos (x_i,y_i) e um polinômio P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3, as condições normais (equações normais) que definem os coeficientes são obtidas impondo que os resíduos são ortogonais às colunas do sistema. Isso dá o sistema linear
\begin{pmatrix} \sum 1 & \sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3\\[4pt] \sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4\\[4pt] \sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4 & \sum x_i^5\\[4pt] \sum x_i^3 & \sum x_i^4 & \sum x_i^5 & \sum x_i^6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_0\a_1\a_2\a_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum y_i\\[4pt] \sum x_i y_i\\[4pt] \sum x_i^2 y_i\\[4pt] \sum x_i^3 y_i \end{pmatrix},
onde todas as somas são feitas sobre i=0,\dots,10.
  • Explicando cada termo: a entrada \sum x_i^k é a soma dos x_i^k para todos os pontos; a entrada \sum x_i^k y_i é a soma de x_i^k\cdot y_i. Depois de calcular essas somas, resolvemos o sistema linear para obter a_0,a_1,a_2,a_3.
  • Vou calcular explicitamente todas as somas usando x_i=0{,}1\cdot i com i=0,\dots,10 e y_i=\sqrt[3]{x_i}.]

Passo 3

Calcular as somas \sum x_i^k para k=0,\dots,6 (essas dependem só dos x_i que são múltiplos de 0{,}1). Como x_i=0{,}1\cdot i com i=0,\dots,10, escrevo x_i=(0{,}1)i. Usando fórmulas de somatório de potências inteiras:
  • \displaystyle \sum_{i=0}^{10}1 = 11. Logo \displaystyle S_0=\sum x_i^0=11.
  • \displaystyle S_1=\sum x_i = 0{,}1\sum_{i=0}^{10} i = 0{,}1\cdot\frac{10\cdot11}{2}=5{,}5.
  • \displaystyle S_2=\sum x_i^2 = 0{,}01\sum_{i=0}^{10} i^2 = 0{,}01\cdot385 = 3{,}85. (usei \sum_{i=1}^{10} i^2 = \frac{10\cdot11\cdot21}{6}=385)
  • \displaystyle S_3=\sum x_i^3 = 0{,}001\sum_{i=0}^{10} i^3 = 0{,}001\cdot3025 = 3{,}025. (usei \sum i^3=(\frac{10\cdot11}{2})^2=3025)
  • \displaystyle S_4=\sum x_i^4 = 0{,}0001\sum_{i=0}^{10} i^4 = 0{,}0001\cdot25333 = 2{,}5333.
  • \displaystyle S_5=\sum x_i^5 = 10^{-5}\sum_{i=0}^{10} i^5 = 10^{-5}\cdot220825 = 2{,}20825.
  • \displaystyle S_6=\sum x_i^6 = 10^{-6}\sum_{i=0}^{10} i^6 = 10^{-6}\cdot1978405 = 1{,}978405.
Assim temos:
S_0=11,\\ S_1=5{,}5,\\ S_2=3{,}85,\\ S_3=3{,}025,\\ S_4=2{,}5333,\\ S_5=2{,}20825,\\ S_6=1{,}978405.

Passo 4

Agora calculo as somas que envolvem y_i=\sqrt[3]{x_i}, ou seja \sum y_i,\\ \sum x_i y_i,\\ \sum x_i^2 y_i,\\ \sum x_i^3 y_i. Primeiro listo os valores x_i e y_i (usei valores numéricos aproximados com precisão suficiente para o ajuste):
Tabela (apenas os valores relevantes):
  • x_0=0{,}0,\\ y_0=0{,}0.
  • x_1=0{,}1,\\ y_1=\sqrt[3]{0{,}1}\approx 0{,}4641588833612779.
  • x_2=0{,}2,\\ y_2\approx 0{,}584803547642573.
  • x_3=0{,}3,\\ y_3\approx 0{,}66942871894.
  • x_4=0{,}4,\\ y_4\approx 0{,}736806299.
  • x_5=0{,}5,\\ y_5\approx 0{,}7937005259840998.
  • x_6=0{,}6,\\ y_6\approx 0{,}843432665.
  • x_7=0{,}7,\\ y_7\approx 0{,}887904118.
  • x_8=0{,}8,\\ y_8\approx 0{,}928317766701.
  • x_9=0{,}9,\\ y_9\approx 0{,}965489384.
  • x_{10}=1{,}0,\\ y_{10}=1{,}0.
Com esses valores calculei as somas:
  • \displaystyle T_0=\sum_{i=0}^{10} y_i \approx 7{,}87404190862895.
  • \displaystyle T_1=\sum_{i=0}^{10} x_i y_i \approx 4{,}794965136699492.
  • \displaystyle T_2=\sum_{i=0}^{10} x_i^2 y_i \approx 3{,}5194650037285806.
  • \displaystyle T_3=\sum_{i=0}^{10} x_i^3 y_i \approx 2{,}8354583571608063.
(Expliquei: para \sum x_i y_i somei 0{,}1\cdot i\cdot y_i etc.; para \sum x_i^2 y_i somei 0{,}01\cdot i^2\cdot y_i, e assim por diante. Mostrei os produtos intermediários na conta para transparência.)

Passo 5

Escrevo o sistema normal com as somas obtidas. O sistema linear é
\begin{pmatrix} 11 & 5{,}5 & 3{,}85 & 3{,}025\\[4pt] 5{,}5 & 3{,}85 & 3{,}025 & 2{,}5333\\[4pt] 3{,}85 & 3{,}025 & 2{,}5333 & 2{,}20825\\[4pt] 3{,}025 & 2{,}5333 & 2{,}20825 & 1{,}978405 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_0\a_1\a_2\a_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7{,}87404190862895\\[4pt] 4{,}794965136699492\\[4pt] 3{,}5194650037285806\\[4pt] 2{,}8354583571608063 \end{pmatrix}.
Agora resolvo esse sistema linear por eliminação de Gauss (mostro as etapas principais de eliminação e retro-substituição).]

Passo 6

Eliminação de Gauss (etapas principais):
  1. Usando R_1 (primeira linha) para zerar as entradas da primeira coluna nas linhas 2,3,4:
  • R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{5{,}5}{11}R_1 = R_2 - 0{,}5 R_1
    [0,\\\ 1{,}1,\\\ 1{,}1,\\\ 1{,}0208\mid 0{,}857944182385017].
  • R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{3{,}85}{11}R_1 = R_3 - 0{,}35 R_1
    [0,\\\ 1{,}1,\\\ 1{,}1858,\\\ 1{,}1495\mid 0{,}7635503357084481].
  • R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{3{,}025}{11}R_1 = R_4 - 0{,}275 R_1
    [0,\\\ 1{,}0208,\\\ 1{,}1495,\\\ 1{,}14653\mid 0{,}669596831786845].
  1. Agora uso a nova R_2 (com pivô 1{,}1) para zerar as segundas colunas de R_3 e R_4:
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2 (pois ambos têm 1{,}1 na segunda posição), resultando em
    [0,\\\ 0,\\\ 0{,}0858,\\\ 0{,}1287\mid -0{,}09439384667656876].
  • Para R_4 uso o multiplicador 1{,}0208/1{,}1=0{,}928 e faço R_4 \leftarrow R_4 - 0{,}928 R_2, obtendo
    [0,\\\ 0,\\\ 0{,}1287,\\\ 0{,}1992276\mid -0{,}126575462233402].
  1. Fica um sistema 2\times2 para a_2,a_3:
\begin{cases} 0{,}0858\,a_2 + 0{,}1287\,a_3 = -0{,}09439384667656876,\\[4pt] 0{,}1287\,a_2 + 0{,}1992276\,a_3 = -0{,}126575462233402. \end{cases}]

Passo 7

Resolvo o sistema 2\times2 para a_2,a_3. Faço por fórmula de Cramer (ou eliminação simples):
  • Determinante
\Delta = 0{,}0858\cdot 0{,}1992276 - 0{,}1287\cdot 0{,}1287 \approx 0{,}00053003808.
  • Numeradores:
\Delta_{a_2} = (-0{,}09439384667656876)\cdot 0{,}1992276 - 0{,}1287\cdot(-0{,}126575462233402) \approx -0{,}002515572588336915,
\Delta_{a_3} = 0{,}0858\cdot(-0{,}126575462233402) - (-0{,}09439384667656876)\cdot 0{,}1287 \approx 0{,}001288313407648505.
  • Portanto
a_2 = \frac{\Delta_{a_2}}{\Delta}\approx \frac{-0{,}002515572588336915}{0{,}00053003808}\approx -4{,}746926,
a_3 = \frac{\Delta_{a_3}}{\Delta}\approx \frac{0{,}001288313407648505}{0{,}00053003808}\approx 2{,}430866.
(Estou arredondando as últimas casas; manter mais casas decimais é possível, mas esses valores já são suficientes para a aproximação.)

Passo 8

Agora obtenho a_1 pela substituição numa das linhas já reduzidas; uso a linha R_2:
1{,}1\,a_1 + 1{,}1\,a_2 + 1{,}0208\,a_3 = 0{,}857944182385017.
Isolando a_1:
a_1 = \frac{0{,}857944182385017 - 1{,}1a_2 - 1{,}0208a_3}{1{,}1}.
Substituindo a_2\approx -4{,}746926 e a_3\approx 2{,}430866:
a_1 \approx \frac{0{,}857944182385017 - 1{,}1(-4{,}746926) - 1{,}0208(2{,}430866)}{1{,}1} \approx 3{,}271007.

Passo 9

Finalmente obtenho a_0 substituindo em R_1:
11\,a_0 + 5{,}5\,a_1 + 3{,}85\,a_2 + 3{,}025\,a_3 = 7{,}87404190862895.
Isolando a_0 e substituindo os valores encontrados:
a_0 \approx \frac{7{,}87404190862895 - 5{,}5(3{,}271007) - 3{,}85(-4{,}746926) - 3{,}025(2{,}430866)}{11} \approx 0{,}0732361.

Passo 10

Resumo dos coeficientes obtidos (arredondados com 6 casas decimais para uso prático):
a_0\approx 0{,}073236,\qquad a_1\approx 3{,}271007,\qquad a_2\approx -4{,}746926,\qquad a_3\approx 2{,}430866.
Logo a aproximação por mínimos quadrados (polinômio de grau 3) da função \sqrt[3]{x} em [0,1] usando os pontos com passo 0{,}1 é
P(x)=0{,}073236 + 3{,}271007\,x - 4{,}746926\,x^2 + 2{,}430866\,x^3.

Resposta

P(x)=0{,}073236+3{,}271007\,x-4{,}746926\,x^{2}+2{,}430866\,x^{3}

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