Ajuste os dados abaixo pelo método de mínimos quadrados utilizando:
(a) uma reta, f(x)=a x+b
(b) uma parábola do tipo f(x)=a x^2+b x+c
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 0.5 0.6 0.9 0.8 1.2 1.5 1.7 2.0

Passo 1

Beleza, a gente tem oito pares f(x)=a,x+b e quer achar a reta
f(x)=a,x^2+b,x+c
e depois a parábola
que “melhor” passam pelos pontos no sentido dos mínimos quadrados.
Conteúdo: regressão linear e quadrática pelo método dos mínimos quadrados.
O que vamos precisar: somar potências de , produtos , montar as chamadas “equações normais” e resolver sistemas lineares.

Passo 2

– Primeiro, para a reta usamos:
Sx=sum xi, Sy=sum yi, Sxx=sum xi^2, Sxy=sum xi,yi, n=8
Calculando nos dados:
Sx=1+2+cdots+8=36, Sy=0.5+0.6+cdots+2.0=9.2,
Sxx=1^2+2^2+cdots+8^2=204, Sxy=1cdot0.5+2cdot0.6+cdots+8cdot2.0=50.5
As equações normais são
a,Sxx+b,Sx = Sxy, a,Sx + b,n = Sy
Ou seja
204,a + 36,b = 50.5, 36,a + 8,b = 9.2

Passo 3

Agora resolvemos esse 2×2:
da segunda, 204a +36(1.15-4.5a)=50.5 ;Longrightarrow; 204a+41.4-162a=50.5 ;Longrightarrow; 42a=9.1 ;Longrightarrow; aapprox0.21667 .
Substituindo na primeira:
b=1.15-4.5cdot0.21667approx0.175
Então
boxedf(x)=0.21667,x+0.175
Logo a reta de mínimos quadrados é

Passo 4

Para a parábola precisamos também
Sx^3=sum xi^3=1^3+2^3+cdots+8^3=1296, Sx^4=sum xi^4=8772,
Sx^2y=sum xi^2,yi =1^2cdot0.5+2^2cdot0.6+cdots+8^2cdot2.0=319.1
As equações normais (derivadas de minimizar a,Sx^4+b,Sx^3+c,Sxx=Sx^2y, a,Sx^3+b,Sxx+c,Sx =Sxy, a,Sxx+b,Sx +c,n =Sy ) viram
8772a +1296b +204c =319.1, 1296a +204b + 36c =50.5, 204a + 36b + 8c = 9.2
Numericamente:

Passo 5

Vamos eliminar 3570a +378b =84.5(eq 4) usando a 3ª equação:
– Multiplico a 3ª por 25.5 e subtraio da 1ª →
378a + 42b = 9.1(eq 5)
– Multiplico a 3ª por 4.5 e subtraio da 2ª →
3570a +378(0.21667-9a)=84.5 ;Longrightarrow; 168a=2.6 ;Longrightarrow; aapprox0.01548
Da eq. 5: b=0.21667-9(0.01548)approx0.07738 .
Substituo na eq. 4:
8c=9.2-204(0.01548)-36(0.07738) ;Longrightarrow; capprox0.40714
Então
Por fim uso a 3ª original para :

Resposta

Ajuste linear (reta):
boxedf(x)=0.21667,x + 0.175
Ajuste quadrático (parábola):
boxedf(x)=0.01548,x^2 + 0.07738,x + 0.40714

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