Ajuste os dados apresentados na tabela abaixo, utilizando o Método dos Mínimos Quadrados por uma exponencial da forma: y=a e^bx
|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c| hline$x$ & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 3,5 & 4 hline$y$ & 3 & 4 & 6 & 9 & 12 & 17 & 24 & 33 & 48 hline$z$ & 1,09861 & 1,38629 & 1,79176 & 2,19722 & 2,48491 & 2,83321 & 3,17805 & 3,49651 & 3,87120 hline 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
3 4 6 9 12 17 24 33 48
1,09861 1,38629 1,79176 2,19722 2,48491 2,83321 3,17805 3,49651 3,87120

Passo 1

Beleza, olha só o que tá rolando: a questão pede pra ajustar um conjunto de pontos y = a,e^b x por uma curva exponencial da forma
ln y = ln a + b,x
Usamos o Método dos Mínimos Quadrados, mas como essa equação é não-linear em e , a gente faz a transformação
Ou seja, definimos e ajustamos uma reta , onde e .
Pra resolver, vamos precisar calcular somas de , , e , usar as fórmulas do ajuste linear e depois voltar pra e .

Passo 2

Primeiro, calculamos as somas necessárias (com &sum xi = 0 + 0,5 + 1 + 1,5 + 2 + 2,5 + 3 + 3,5 + 4 = 18, &sum zi = sum ln yi = 22,33776, &sum xi^2 = 0^2 + 0,5^2 + dots + 4^2 = 51, &sum xi zi = 55,09032 pontos):

Passo 3

Agora usamos as fórmulas do ajuste de reta B = nsum xi zi - (sum xi)(sum zi)nsum xi^2 - (sum xi)^2 = 9cdot55,09032 - 18cdot22,337769cdot51 - 18^2 approx 0,69435 :

Passo 4

Em seguida encontramos bar x = sum xin = 2, bar z = sum zin = 2,4820, via a média:
A = bar z - B,bar x = 2,4820 - 0,69435cdot2 approx 1,09331
a = e^A approx e^1,09331 approx 2,9846, b = B approx 0,69435
Lembrando que , temos

Resposta

O ajuste pelo Método dos Mínimos Quadrados dá
boxedy approx 2,9846,e^0,69435,x

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