Encontre o polinômio interpolador P2(x) que interpola a função f(x)=raiz1+x para os seguintes valores de x,
|c|c|c|c| hline$x$ & 0 & 0,6 & 0,9 hline$y$ & 1 & 1,26491 & 1,37840 hline 0 0,6 0,9
1 1,26491 1,37840
utilizando as técnicas de interpolação:
a) de Lagrange: escreva todos os polinômios de lagrange e o polinômio final;

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer achar um polinômio (0,1), (0,6,,1,26491), (0,9,,1,37840) de grau no máximo 2 que passe pelos pontos
Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^2 x-xjxi-xj,
da função P2(x)=sumi=0^2 yi,Li(x) . Isso é um exercício clássico de interpolação polinomial pelo método de Lagrange.
Pra resolver a gente vai usar a fórmula dos polinômios base de Lagrange:
e depois montar

Passo 2

Primeiro, defino os nós:
x0=0,;y0=1; x1=0,6,;y1=1,26491; x2=0,9,;y2=1,37840
Agora construo cada L0(x) =(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2) =(x-0,6)(x-0,9)(0-0,6)(0-0,9) =(x-0,6)(x-0,9)0,54 :
  1. Para L1(x) =(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2) =x,(x-0,9)(0,6-0)(0,6-0,9) =x(x-0,9)0,6cdot(-0,3) =-x(x-0,9)0,18 :
L2(x) =(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1) =x,(x-0,6)0,9cdot0,3 =x(x-0,6)0,27
  1. Para :
  1. Para :
Cada é zero nos outros nós e vale 1 em .

Passo 3

Agora o polinômio interpolador é
P2(x) = y0,L0(x) + y1,L1(x) + y2,L2(x)
Substituindo os valores numéricos:
P2(x) =1cdot(x-0,6)(x-0,9)0,54 +1,26491l(-x(x-0,9)0,18r) +1,37840l(x(x-0,6)0,27r)
Se você quiser expandir isso em forma de P2(x)approx -0,06950,x^2 +0,48366,x +1 , dá pra fazer:

Resposta

O polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 que interpola boxedP2(x) =-0,06950,x^2 ;+;0,48366,x ;+;1 nesses três pontos é

Exercícios relacionados