Encontre o polinômio interpolador P2(x) que interpola a função f(x)=raiz1+x para os seguintes valores de x,
|c|c|c|c| hline$x$ & 0 & 0,6 & 0,9 hline$y$ & 1 & 1,26491 & 1,37840 hline 0 0,6 0,9
P2(0,7) 1 1,26491 1,37840
utilizando as técnicas de interpolação:
c) Estime f(0,7), escolhendo um dos itens a ou b e compare com .

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar um polinômio de grau 2, f(x)=raiz1+x , que interpola a função
(0,1), (0,6,1,26491), (0,9,1,37840),
nos pontos
e depois estimar usando uma das técnicas (por exemplo, interpolação de Lagrange) e comparar com o valor exato .
Conteúdo: polinômio interpolador de Lagrange. Vamos usar a fórmula completa dos polinômios base e montar .

Passo 2

Teoria rápida de Lagrange: se a gente tem três pontos P2(x)=sumi=0^2 yi,Li(x), , Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^2x - xjxi - xj , , o polinômio interpolador de grau 2 é
onde cada base de Lagrange é
Isso garante que (1 se , 0 caso contrário), de modo que .

Passo 3

Vamos calcular os x0=0,;x1=0,6,;x2=0,9 para
L0(x)=(x - 0,6)(x - 0,9)(0 - 0,6)(0 - 0,9) =(x - 0,6)(x - 0,9)0,54
  1. L1(x) =(x - 0)(x - 0,9)(0,6 - 0)(0,6 - 0,9) =x,(x - 0,9)0,6cdot(-0,3) =-x,(x - 0,9)0,18 :
L2(x) =(x - 0)(x - 0,6)(0,9 - 0)(0,9 - 0,6) =x,(x - 0,6)0,9cdot0,3 =x,(x - 0,6)0,27
  1. :
  1. :

Passo 4

Agora montamos
P2(x) =1cdot L0(x) +1,26491cdot L1(x) +1,37840cdot L2(x)
Mas como o enunciado pede só a estimativa em , vamos direto calcular :

Passo 5

Agora estimamos
P2(0,7) =1cdot(-0,037037) +1,26491cdot(0,77778) +1,37840cdot(0,25926) approx 1,30414
O valor exato da função é
f(0,7)=raiz1,7approx1,30384

Passo 6

Comparando, a diferença é
|P2(0,7)-f(0,7)|approx|1,30414-1,30384| =0,00030,
ou seja, um erro de cerca de .

Resposta

,
,
diferença .

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