Para o seguinte PVI: y^prime=y x^2-y em x in[0 ; 0,5] com y1=1 e h=0,25, calcule o valor de y3 utilizando Runge-Kutta de 2^a ordem. (y exato =e^x^33-x)

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado é um PVI (problema de valor inicial) da forma
y' = y,x^2 - y
no intervalo k1 = f(xn,yn), k2 = fl(xn+tfrach2,,yn+tfrach2k1r), yn+1 = yn + h,k2 , com condição inicial , passo .
Conteúdo: método de Runge–Kutta de 2ª ordem (às vezes chamado método do ponto médio ou Heun mais simples).
O que vamos precisar:
  1. A função .
  2. A fórmula do RK2:
  3. Iterar duas vezes para chegar em (começando em , depois , ).

Passo 2

Primeira iteração (de k1 = f(x1,y1) = f(0,1) = 1cdot(0^2-1) = -1 para x1 + tfrach2 = 0 + 0.125 = 0.125, y1 + tfrach2k1 = 1 + 0.125cdot(-1) = 0.875 ):
  1. Calcular k2 = f(0.125,,0.875) = 0.875l(0.125^2 - 1r) = 0.875,(0.015625 -1) = -0.861328125
  2. Calcular ponto médio: y2 = y1 + h,k2 = 1 + 0.25cdot(-0.861328125) = 0.78466796875 Então
  3. Atualizar

Passo 3

Segunda iteração (de k1 = f(x2,y2) = f(0.25,,0.78466796875) = 0.78466796875,(0.25^2 -1) = 0.78466796875,(0.0625-1) = -0.735626220703125 para x2 + tfrach2 = 0.375, y2 + tfrach2k1 = 0.78466796875 + 0.125cdot(-0.735626220703125) = 0.6927146911621094 ):
1)
k2 = f(0.375,,0.6927146911621094) = 0.6927146911621094,(0.375^2 -1) = 0.6927146911621094,(0.140625 -1) approx -0.5955123901367188
  1. Ponto médio: y3 = y2 + h,k2 = 0.78466796875 + 0.25cdot(-0.5955123901367188) approx 0.6357898712158203 Então
  2. Atualizar

Resposta

O valor aproximado pelo método de Runge–Kutta de 2ª ordem em boxedy3 approx 0.63579 é

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