Ajuste um polinômio quadrático aos seguintes dados:
x 3 4 5 7 8 9 11 12
y 1.6 3.6 4.4 3.4 2.2 2.8 3.8 4.6
Qual seria uma previsão para o valor de y quando x=10 ?

Passo 1

O enunciado pede um ajuste por mínimos quadrados de um polinômio quadrático
y = a x^2 + b x + c
aos oito pontos dados, e em seguida usar esse modelo para prever y quando x=10. Vamos precisar das somas \sum x_i^k e \sum x_i^k y_i para montar e resolver o sistema normal.

Passo 2

Calculemos as somas necessárias (com n=8):
\begin{aligned} \sum x_i &= 3+4+5+7+8+9+11+12 = 59,\\\ \sum x_i^2 &= 9+16+25+49+64+81+121+144 = 509,\\\ \sum x_i^3 &= 27+64+125+343+512+729+1331+1728 = 4859,\\\ \sum x_i^4 &= 81+256+625+2401+4096+6561+14641+20736 = 49397,\\\ \sum y_i &= 1.6+3.6+4.4+3.4+2.2+2.8+3.8+4.6 = 26.4,\\\ \sum x_i y_i &= 4.8+14.4+22.0+23.8+17.6+25.2+41.8+55.2 = 204.8,\\\ \sum x_i^2 y_i &=14.4+57.6+110.0+166.6+140.8+226.8+459.8+662.4=1838.4. \end{aligned}

Passo 3

As equações normais são
\sum y_i = c\,n + b\sum x_i + a\sum x_i^2,
\sum x_i y_i = c\sum x_i + b\sum x_i^2 + a\sum x_i^3,
\sum x_i^2 y_i = c\sum x_i^2 + b\sum x_i^3 + a\sum x_i^4.
Substituindo os valores:
\begin{cases} 26.4 = 8c + 59b + 509a,\\\\ 204.8 = 59c + 509b + 4859a,\\\\ 1838.4 = 509c + 4859b + 49397a. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo esse sistema por eliminação (ou inversão de matriz), obtemos aproximadamente
a \approx 0.015857,\quad b \approx -0.10047,\quad c \approx 3.0322.

Passo 5

Para x=10, o modelo dá
y(10) = a\cdot10^2 + b\cdot10 + c \approx 0.015857\cdot100 -0.10047\cdot10 +3.0322 \approx 3.61.

Resposta

A previsão para y em x=10 é aproximadamente 3.61.

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