Determine o sistema linear que determina o polinômio de grau 2 p(x)=a x^{2}+b x+c que aproxima um conjunto de dados \left(x_{i}, y_{i}\right) para i
variando de 1 até n. Ou seja, determine a, b, c que minimiza a função
S(a, b, c)=\sum_{i=1}^{n} e_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left[y_{i}-\left(a x_{i}^{2}+b x_{i}+c\right)\right]^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o polinômio de grau 2
p(x)=a\,x^2+b\,x+c
que melhor se ajusta aos pontos (x_i,y_i), i=1,\dots,n, no sentido de mínimos quadrados. O conteúdo necessário é a condição de ótimos para funções de várias variáveis: fazer as derivadas parciais da soma dos quadrados dos erros igual a zero.

Passo 2

Definimos a função erro
S(a,b,c)=\sum_{i=1}^n\Bigl[y_i-\bigl(a\,x_i^2+b\,x_i+c\bigr)\Bigr]^2.
Para minimizar, impomos as equações normais
\frac{\partial S}{\partial a}=0,\quad \frac{\partial S}{\partial b}=0,\quad \frac{\partial S}{\partial c}=0.

Passo 3

Calculando \partial S/\partial a:
\frac{\partial S}{\partial a} =-2\sum_{i=1}^n\bigl[y_i-(a\,x_i^2+b\,x_i+c)\bigr]\,x_i^2 =0
o que dá
a\sum_{i=1}^n x_i^4 +b\sum_{i=1}^n x_i^3 +c\sum_{i=1}^n x_i^2 =\sum_{i=1}^n x_i^2\,y_i.

Passo 4

Calculando \partial S/\partial b:
\frac{\partial S}{\partial b} =-2\sum_{i=1}^n\bigl[y_i-(a\,x_i^2+b\,x_i+c)\bigr]\,x_i =0
resultando em
a\sum_{i=1}^n x_i^3 +b\sum_{i=1}^n x_i^2 +c\sum_{i=1}^n x_i =\sum_{i=1}^n x_i\,y_i.

Passo 5

Calculando \partial S/\partial c:
\frac{\partial S}{\partial c} =-2\sum_{i=1}^n\bigl[y_i-(a\,x_i^2+b\,x_i+c)\bigr] =0
que fornece
a\sum_{i=1}^n x_i^2 +b\sum_{i=1}^n x_i +c\,n =\sum_{i=1}^n y_i.

Passo 6

Organizando as três equações temos o sistema linear em a,b,c:
\begin{cases} a\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^4 \; + \; b\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^3 \; + \; c\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2 =\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2\,y_i, \\[1em] a\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^3 \; + \; b\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2 \; + \; c\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i =\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\,y_i, \\[1em] a\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2 \; + \; b\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \; + \; c\,n =\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i. \end{cases}]

Resposta

\begin{cases} a\sum_{i=1}^n x_i^4+b\sum_{i=1}^n x_i^3+c\sum_{i=1}^n x_i^2=\sum_{i=1}^n x_i^2y_i,\\\ a\sum_{i=1}^n x_i^3+b\sum_{i=1}^n x_i^2+c\sum_{i=1}^n x_i=\sum_{i=1}^n x_i y_i,\\\ a\sum_{i=1}^n x_i^2+b\sum_{i=1}^n x_i+c\,n=\sum_{i=1}^n y_i. \end{cases}

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