Para cada caso, determine se é mais apropriado usar interpolação, ajuste por mínimos quadrados linear ou ajuste por mínimos quadrados exponencial e explique o motivo de sua escolha.
(a) Um engenheiro mediu a altura de uma planta em 5 semanas consecutivas e deseja encontrar uma função que passe exatamente pelos valores observados.
(b) Um engenheiro precisa modelar os dados de uma simulação numérica, mas sabe que os valores obtidos não são completamente precisos e deseja obter uma curva que se aproxime o máximo possível da tendência geral dos dados.
(c) Um engenheiro precisa calcular a área de um terreno. Ele possui apenas algumas coordenadas da fronteira do terreno e gostaria de estabelecer a curva que passa por estas coordenadas.
(d) Um engenheiro precisa encontrar uma curva que passa por 1500000 milhões de pontos.
(e) Um engenheiro precisa criar um modelo para descrever o número de casos de dengue em uma cidade.

Passo 1

O enunciado pede para, em cada um dos cinco cenários, escolher entre interpolação, ajuste por mínimos quadrados linear ou ajuste por mínimos quadrados exponencial. Em linhas gerais:
  • Interpolação gera uma função que passa exatamente por todos os pontos dados.
  • Ajuste por mínimos quadrados linear ajusta y=ax+b minimizando a soma dos quadrados dos erros.
  • Ajuste por mínimos quadrados exponencial ajusta y=c\,e^{k x} minimizando também a soma dos quadrados dos erros.

Passo 2

No caso (a) o engenheiro mediu a altura de uma planta em 5 semanas e quer uma função que passe exatamente pelos valores observados. Como não há imprecisão e o objetivo é encaixar perfeitamente cada ponto, a técnica mais apropriada é a interpolação.

Passo 3

No caso (b) os dados vêm de uma simulação com imprecisões e o engenheiro deseja uma curva que siga a tendência geral, sem necessariamente passar por cada ponto. Esse é o cenário clássico para ajuste por mínimos quadrados linear, que fornece a reta de melhor ajuste minimizando as flutuações dos resíduos.

Passo 4

No caso (c) o engenheiro tem apenas algumas coordenadas da fronteira de um terreno e quer a curva que passa exatamente por essas coordenadas para calcular a área. Novamente, como se exige encaixe exato nos pontos conhecidos da fronteira, a técnica ideal é a interpolação.

Passo 5

No caso (d) há 1{,}5\times10^6 pontos. Tentar interpolar todos levaria a um polinômio de grau altíssimo, com grande instabilidade numérica e custo computacional proibitivo. Em vez disso, usa-se ajuste por mínimos quadrados linear (ou de outro modelo simples) para resumir a tendência geral sem forçar encaixe em cada ponto.

Passo 6

No caso (e) o engenheiro quer modelar o número de casos de dengue numa cidade. Dados epidemiológicos costumam crescer (ou decrescer) de forma aproximadamente exponencial em certas fases do surto. Por isso o mais apropriado é o ajuste por mínimos quadrados exponencial, que captura esse comportamento de crescimento/decrescimento proporcional.

Resposta

(a) Interpolação
(b) Ajuste por mínimos quadrados linear
(c) Interpolação
(d) Ajuste por mínimos quadrados linear
(e) Ajuste por mínimos quadrados exponencial

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