Responda:
(a) Achar uma reta p(x)=a x+b via mínimos quadrados linear para aproximar dois pontos \left(x_{1}, y_{1}\right) e \left(x_{2}, y_{2}\right) é equivalente a interpolar este pontos (via Lagrange ou Newton)? Justifique.
(b) Achar uma parábola p(x)=a x^{2}+b x+c via mínimos quadrados linear para aproximar três pontos \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) e \left(x_{3}, y_{3}\right) é equivalente a interpolar este pontos (via Lagrange ou Newton)?
(c) Quantos pontos são necessários para que o polinômio de grau n obtido via mínimos quadrados linear coincida com o polinômio interpolador destes pontos?
Passo 1
O enunciado pergunta se, nos casos abaixo, a reta ou parábola obtida por mínimos quadrados lineares coincide com o polinômio interpolador desses mesmos pontos, e em (c) quantos pontos são necessários para que isso ocorra num polinômio de grau n. Vamos usar a teoria de mínimos quadrados e interpolação por polinômio de grau igual ao número de pontos menos um.
Passo 2
Em mínimos quadrados lineares, montamos a matriz de projeto \boldsymbol X cujas linhas são (1,x_i,x_i^2,\dots) e o vetor de observações \boldsymbol y. O vetor de coeficientes \boldsymbol a satisfaz as equações normais
\boldsymbol X^T\boldsymbol X\,\boldsymbol a \;=\;\boldsymbol X^T\boldsymbol y.
Se \boldsymbol X for quadrada e inversível, então \boldsymbol X^T\boldsymbol X também é inversível e multiplicando à esquerda pela inversa obtemos
\boldsymbol X\,\boldsymbol a \;=\;\boldsymbol y,
que são exatamente as condições de interpolação.
Passo 3
(a) Para a reta p(x)=ax+b temos dois coeficientes (b,a) e dois pontos \bigl(x_1,y_1\bigr), \bigl(x_2,y_2\bigr). A matriz de projeto é
que é 2\times2 e, desde que x_1\neq x_2, inversível. Logo as equações normais implicam \boldsymbol X\boldsymbol a=\boldsymbol y, ou seja, a reta de mínimos quadrados passa exatamente pelos dois pontos. Concluímos que, nesse caso, é equivalente à interpolação.
Passo 4
(b) Para a parábola p(x)=ax^2+bx+c temos três coeficientes e três pontos \bigl(x_i,y_i\bigr), i=1,2,3. A matriz de projeto é
que é 3\times3 e invertível se os x_i são distintos. Assim as equações normais dão \boldsymbol X\boldsymbol a=\boldsymbol y, isto é, o ajuste por mínimos quadrados coincide com o polinômio interpolador.
Passo 5
(c) Em geral, para um polinômio de grau n precisamos de n+1 coeficientes. Se tivermos exatamente n+1 pontos com abscissas distintas, a matriz de projeto \boldsymbol X é quadrada ((n+1)\times(n+1)) e, por hipótese de abscissas distintas, invertível. Logo o polinômio de grau n obtido por mínimos quadrados coincide com o interpolador desses n+1 pontos.
Resposta
(a) Sim. Com 2 pontos e 2 coeficientes, a matriz de projeto é invertível e as equações normais reduzem-se às equações de interpolação, logo a reta de mínimos quadrados interpola os dois pontos.
(b) Sim. Com 3 pontos e 3 coeficientes, a matriz de projeto é invertível e as equações normais são as condições de interpolação, logo a parábola de mínimos quadrados interpola os três pontos.
(c) São necessários n+1 pontos (com abscissas distintas) para que o polinômio de grau n por mínimos quadrados coincida com o interpolador desses pontos.