Ex. 156 - Resolva o sistema em Z2, usando a regra de Cramer:
l x1 oplus x2 oplus x3=0 x1 oplus x2=1 x2 oplus x3=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x1oplus x2oplus x3=0 x1oplus x2=1 x2oplus x3=1
em Z2 usando a regra de Cramer. Aqui oplus é adição em Z2, equivalente a soma módulo 2. Vamos montar a matriz dos coeficientes A, o vetor de incógnitas x e o vetor de termos independentes b e calcular determinantes em Z2.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A= 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ,
e o vetor de termos independentes é
b=011
O determinante de A em Z2 é
det(A) =1cdotl(1cdot1-0cdot1r) -1cdotl(1cdot1-0cdot0r) +1cdotl(1cdot1-1cdot0r) equiv 1-1+1 equiv 1 pmod2

Passo 3

Para det(A1) substituímos a primeira coluna de A por b:
A1= 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1
Calculamos
det(A1) =0cdot(1cdot1-0cdot1) -1cdot(1cdot1-0cdot1) +1cdot(1cdot1-1cdot1) equiv 0-1+0 equiv 1 pmod2

Passo 4

Para det(A2) substituímos a segunda coluna de A por b:
A2= 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1
Calculamos
det(A2) =1cdot(1cdot1-0cdot1) -0cdot(1cdot1-0cdot0) +1cdot(1cdot1-1cdot0) equiv 1-0+1 equiv 0 pmod2

Passo 5

Para det(A3) substituímos a terceira coluna de A por b:
A3= 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1
Calculamos
det(A3) =1cdot(1cdot1-1cdot1) -1cdot(1cdot1-1cdot0) +0cdot(1cdot1-1cdot1) equiv 0-1+0 equiv 1 pmod2

Passo 6

Como det(A)equiv1 em Z2, seu inverso também é 1. Pela regra de Cramer em Z2 temos
x1=det(A1)equiv1, x2=det(A2)equiv0, x3=det(A3)equiv1

Resposta

(x1,x2,x3)=(1,0,1)em Z2

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