20.56 Na equação x^3+a x^2+b x+a=0, a e b são números reais.Se x=2+i é uma raiz da equação,encontre a e b

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^3 + a x^2 + b x + a = 0
com a,binR e informa que x=2+i é uma raiz. Como os coeficientes são reais, a raiz conjugada 2-i também é solução. Vamos usar o teorema das raízes complexas conjugadas, fatorar o polinômio e comparar coeficientes.

Passo 2

Seja alpha a terceira raiz (real) da equação. Então o polinômio se factoriza como
(x - (2+i)),(x - (2-i)),(x - alpha) ;=; 0

Passo 3

Calculamos primeiro a parte quadrática:
(x - (2+i)),(x - (2-i)) = (x-2)^2 - (i)^2 = x^2 -4x +4 +1 = x^2 -4x +5

Passo 4

Multiplicando (x^2 -4x +5) por (x-alpha) obtemos
(x^2 -4x +5)(x-alpha) = x^3 +(-alpha -4),x^2 + (4alpha+5),x -5alpha
Comparando com
x^3 + a x^2 + b x + a = 0,
vemos que os coeficientes devem satisfazer
a = -alpha - 4, b = 4alpha + 5, a = -5alpha

Passo 5

Das duas expressões para a temos
-alpha - 4 = -5alpha Longrightarrow -4 = -5alpha + alpha = -4alpha Longrightarrow alpha = 1
Então
a = -5alpha = -5cdot1 = -5, b = 4alpha + 5 = 4cdot1 +5 = 9

Resposta

a = -5, b = 9

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