Resolva as equações:
3 x^3+2 x^2+2 x-1=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação cúbica
3x^3 + 2x^2 + 2x - 1 = 0
O conteúdo envolvido é resolução de polinômios de grau 3, usando o teste de raízes racionais e fatoração em um produto de polinômio de grau 1 por grau 2, além da fórmula quadrática para o segundo fator.

Passo 2

Vamos aplicar o teste de raízes racionais, que diz que toda raiz racional em forma tfracpq satisfaz pmid -1 e qmid 3. As possibilidades são
x = pm 1, x = pm tfrac13
Substituindo x=1 e x=-1 não anula o polinômio. Para x=tfrac13 temos
3l(tfrac13r)^3 + 2l(tfrac13r)^2 + 2l(tfrac13r) - 1 = tfrac19 + tfrac29 + tfrac23 - 1 = 0,
logo x=tfrac13 é uma raiz.

Passo 3

Como x=tfrac13 é raiz, o polinômio tem fator 3x-1. Então escrevemos
3x^3 + 2x^2 + 2x - 1 = (3x - 1)l(ax^2 + bx + cr)
Desenvolvendo o produto e igualando coeficientes, encontra-se a=1, b=1 e c=1. Assim
3x^3 + 2x^2 + 2x - 1 = (3x - 1)(x^2 + x + 1)

Passo 4

Agora resolvemos cada fator:
  1. 3x - 1 = 0
x = tfrac13
  1. x^2 + x + 1 = 0. O discriminante é
De<a = 1 - 4 = -3 < 0,
portanto as raízes são complexas
x = -1 pm iraiz32

Resposta

As soluções da equação são
x = tfrac13, x = -1 + iraiz32, x = -1 - iraiz32

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