Empregando a Regra de Sinais de Descartes,o que podemos concluir sobre o número de raízes positivas.negati- vas e complexas das equações abaixo?
x^2-2 x+7=0

Passo 1

O enunciado pede para usar a Regra de Sinais de Descartes para determinar quantas raízes positivas, negativas e complexas tem a equação x^2 - 2x + 7 = 0. Isso envolve contar mudanças de sinal em f(x) e em f(-x) e, em seguida, usar o resultado para classificar as raízes.

Passo 2

A Regra de Sinais de Descartes diz que o número de raízes reais positivas de um polinômio é igual ao número de variações de sinal nos seus coeficientes, ou a esse número menos um múltiplo de 2. Para f(x) = x^2 - 2x + 7 os sinais dos coeficientes são +, –, +, ou seja, há duas mudanças de sinal. Logo o número de raízes positivas possíveis é 2 ou 0.

Passo 3

Para as raízes negativas, aplicamos a Regra de Descartes em f(-x). Temos
f(-x)=(-x)^2 - 2(-x) + 7 = x^2 + 2x + 7
Os coeficientes são todos positivos (+, +, +), não há mudança de sinal, então o número de raízes negativas possíveis é 0.

Passo 4

Para decidir entre as possibilidades dadas pela regra (2 ou 0 raízes positivas), basta verificar o discriminante de x^2 - 2x +7. Calculamos: $ De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot7 = 4 - 28 = -24 De<a<0\Delta<0$, não há raízes reais. Portanto zero raízes positivas, zero negativas e as duas raízes são complexas.

Resposta

Não há raízes positivas, não há raízes negativas e existem duas raízes complexas.

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