Empregando a Regra de Sinais de Descartes,o que podemos concluir sobre o número de raízes positivas.negati- vas e complexas das equações abaixo?
Passo 1
O enunciado pede para usar a Regra de Sinais de Descartes para determinar quantas raízes positivas, negativas e complexas tem a equação
. Isso envolve contar mudanças de sinal em
e em
e, em seguida, usar o resultado para classificar as raízes.
Passo 2
A Regra de Sinais de Descartes diz que o número de raízes reais positivas de um polinômio é igual ao número de variações de sinal nos seus coeficientes, ou a esse número menos um múltiplo de 2. Para
os sinais dos coeficientes são +, –, +, ou seja, há duas mudanças de sinal. Logo o número de raízes positivas possíveis é 2 ou 0.
Passo 3
Para as raízes negativas, aplicamos a Regra de Descartes em
. Temos
Os coeficientes são todos positivos (+, +, +), não há mudança de sinal, então o número de raízes negativas possíveis é 0.
Passo 4
Para decidir entre as possibilidades dadas pela regra (2 ou 0 raízes positivas), basta verificar o discriminante de
. Calculamos: $
\Delta<0$, não há raízes reais. Portanto zero raízes positivas, zero negativas e as duas raízes são complexas.
Resposta
Não há raízes positivas, não há raízes negativas e existem duas raízes complexas.