Ache uma base de R^3 na qual o operador A(x, y, z)=(x+2 y+ 3 z, 4 y+6 z,-y-z) tem uma matriz triangular. Exiba essa matriz.

Passo 1

O enunciado pede uma base de R^3 em que o operador linear A(x,y,z)=(x+2y+3z,;4y+6z,;-y-z) tenha matriz triangular. O conteúdo é transformações lineares e triangularização de matrizes via escolha de base adequada. Para isso, vamos precisar achar valores próprios, autovetores e, se necessário, vetores generalizados.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, a matriz de A é dada por calcular A(e1),A(e2),A(e3):
A= 1 & 2 & 3 0 & 4 & 6 0 & -1 & -1

Passo 3

Para encontrar os valores próprios, montamos o polinômio característico:
det(A-lambda I)=(1-lambda)l((4-lambda)(-1-lambda)-6(-1)r)=(1-lambda)(lambda^2-3lambda+2)=(1-lambda)^2(2-lambda)
Logo lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=2.

Passo 4

Para lambda=2, resolvemos (A-2I)v=0:
- x+2y+3z=0, 2y+6z=0
Daí y=-3z e x=2y+3z=-6z+3z=-3z. Tomando z=1, um autovetor é v2=(-3,-3,1).

Passo 5

Para lambda=1, resolvemos (A-I)v=0:
2y+3z=0, 3y+6z=0
As duas dão só a solução y=0,z=0, com x livre. Tomamos v1=(1,0,0) como autovetor.

Passo 6

Como a multiplicidade geométrica de lambda=1 é 1 (<2), precisamos de um vetor generalizado w tal que (A-I)w=v1. Resolvendo
(A-I)(x,y,z)=(1,0,0)
dá o sistema
2y+3z=1, 3y+6z=0, - y-2z=0
Que leva a y=2,z=-1, e escolhemos x=0. Assim w=(0,2,-1).

Passo 7

Definimos a base B=v2,,v1,,w. Agora expressamos A(v2),A(v1),A(w) nessa base:
A(v2)=2v2, A(v1)=1,v1, A(w)=0,v2+1,v1+1,w
Isso gera a matriz triangular de representação.

Passo 8

Concluímos que, na base B, a matriz de A é triangular superior com entradas dos valores próprios na diagonal e possivelmente um 1 no primeiro superdiagonal correspondente ao bloco de Jordan de lambda=1.

Resposta

Uma escolha conveniente de base é
B=(-3,-3,1),,(1,0,0),,(0,2,-1)
Nesse sistema de coordenadas a matriz de A fica
[A]B= 2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 ,
que é triangular superior.

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