Sejam A, B: E E operadores cujas raízes características são todas reais. Se A B=B A, prove que existe uma base na qual as matrizes de A e B são ambas triangulares.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois endomorfismos comutantes A,B: E→E de espaço vetorial real de dimensão finita, cujos polinômios característicos se fatorial sobre R (têm todas as raízes reais), existe base em que ambas as matrizes são triangulares. Vamos usar indução na dimensão de E e explorar o fato de que A tem ao menos um autovalor real e que B preserva o autospaco correspondente.

Passo 2

Como todas as raízes do polinômio característico de A são reais, A possui um autovalor lambdainR e um autovetor não nulo v tal que
A(v)=lambda v
Definimos o autospaco V=ker(A-lambda I). Como A e B comutam, para qualquer vin V vale
A(B(v))=B(A(v))=B(lambda v)=lambda B(v),
logo B(v)in V. Assim, V é invariante tanto por A quanto por B.

Passo 3

Escolhemos uma base de V e a estendemos a uma base de E. Nessas coordenadas, as matrizes de A e B ficam em forma de blocos superiores triângulares. Para A temos
A= lambda I & * 0 & A1 ,
e para B temos
B= B11 & B12 0 & B1
Aqui A1 e B1 agem no complemento de V, que é de dimensão estritamente menor.

Passo 4

Os operadores A1,B1 também comutam e têm todos os autovalores reais, pois seus polinômios característicos dividem os de A e B. Pelo hipótese de indução sobre a dimensão, existe base desse subespaço em que A1 e B1 são triangulares. Combinando essa base com a base de V, obtemos uma base de E na qual as matrizes de A e B são simultaneamente triangulares superiores.

Resposta

Concluímos que existe uma base de E na qual as matrizes de A e de B são ambas triangulares superiores.

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