Sejam operadores cujas raízes características são todas reais. , prove que existe uma base na qual as matrizes de e são ambas triangulares.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois endomorfismos comutantes A,B: E→E de espaço vetorial real de dimensão finita, cujos polinômios característicos se fatorial sobre R (têm todas as raízes reais), existe base em que ambas as matrizes são triangulares. Vamos usar indução na dimensão de E e explorar o fato de que A tem ao menos um autovalor real e que B preserva o autospaco correspondente.
Passo 2
Como todas as raízes do polinômio característico de A são reais, A possui um autovalor e um autovetor não nulo tal que
Definimos o autospaco . Como A e B comutam, para qualquer vale
logo . Assim, V é invariante tanto por A quanto por B.
Passo 3
Escolhemos uma base de V e a estendemos a uma base de E. Nessas coordenadas, as matrizes de A e B ficam em forma de blocos superiores triângulares. Para A temos
e para B temos
B= B11 & B12 0 & B1
Aqui A1 e B1 agem no complemento de V, que é de dimensão estritamente menor.
Passo 4
Os operadores A1,B1 também comutam e têm todos os autovalores reais, pois seus polinômios característicos dividem os de A e B. Pelo hipótese de indução sobre a dimensão, existe base desse subespaço em que A1 e B1 são triangulares. Combinando essa base com a base de V, obtemos uma base de E na qual as matrizes de A e B são simultaneamente triangulares superiores.
Resposta
Concluímos que existe uma base de E na qual as matrizes de A e de B são ambas triangulares superiores.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 20.Exercícios - Ex. 20.10