Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) Os operadores
e
têm os mesmos autovetores.
( ) Sejam a a matriz do operador
na base canônica e p uma matriz cujas colunas são autovetores L.I. de A. Então
é diagonal.
( ) Se
é autovalor do operador invertível
então
é autovalor de
.
( ) O polinômio característico do operador
é a soma dos polinômios característicos de A e B.
( ) Se
é um autovetor comum aos operadores
e
então
é autovetor de
e de BA.
( ) Duas matrizes triangulares semelhantes são iguais.
( ) Os operadores
( ) Sejam a a matriz do operador
( ) Se
( ) O polinômio característico do operador
( ) Se
( ) Duas matrizes triangulares semelhantes são iguais.
Passo 1
O enunciado pede para marcar Verdadeiro (V) ou Falso (F) em seis afirmações sobre autovalores, autovetores, operadores lineares, polinômio característico e similaridade de matrizes triangulares. Vamos usar conceitos de adjunto de operador, diagonalização, inversão de operadores, propriedades de somas e produtos de operadores e teoria de similaridade.
Passo 2
Afirmação 1: “Os operadores A e A* têm os mesmos autovetores.” O adjunto A* de um operador A só compartilha autovetores com A quando A é normal (isto é, AA* = AA). No caso geral, A e A podem ter bases de autovetores diferentes. Portanto, essa afirmação é falsa.
Passo 3
Afirmação 2: “Seja A a matriz do operador A na base canônica e P uma matriz cujas colunas são autovetores L.I. de A. Então P^{-1}AP é diagonal.” Se as colunas de P formam uma base de autovetores de A, então essa é exatamente a condição de diagonalização. Logo, P^{-1}AP será uma matriz diagonal com os autovalores de A. A afirmação é verdadeira.
Passo 4
Afirmação 3: “Se λ é autovalor do operador invertível A então λ^{-1} é autovalor de A^{-1}.” Se Av=λv com v≠0, aplicando A^{-1} em ambos os lados: v = λA^{-1}v, ou A^{-1}v = λ^{-1}v. Logo λ^{-1} é autovalor de A^{-1}. Verdadeiro.
Passo 5
Afirmação 4: “O polinômio característico do operador A+B é a soma dos polinômios característicos de A e B.” O polinômio característico é p_X(t)=det(X−tI), que não satisfaz p_{A+B}(t)=p_A(t)+p_B(t) em geral, pois det é multiplicativo e não linear na soma. Falso.
Passo 6
Afirmação 5: “Se v é um autovetor comum aos operadores A e B então v é autovetor de A+B e de BA.” Se Av=λv e Bv=μv então (A+B)v=Av+Bv=(λ+μ)v e BA
v=B(λv)=λBv=λμv. Logo, v é autovetor de A+B e de BA. Verdadeiro.
v=B(λv)=λBv=λμv. Logo, v é autovetor de A+B e de BA. Verdadeiro.
Passo 7
Afirmação 6: “Duas matrizes triangulares semelhantes são iguais.” Matrizes triangulares semelhantes têm os mesmos blocos de Jordan, mas seus elementos acima da diagonal podem variar sob mudança de base triangular. Existem exemplos de duas matrizes triangulares não iguais que são semelhantes. Logo, a afirmação é falsa.
Resposta
(F) (V) (V) (F) (V) (F)