Determine o polinômio caracterítico da matriz
ccccc 0 & 1 & 0 & ldots & 0 0 & 0 & 1 & ldots & 0 vdots & vdots & vdots & vdots & vdots 0 & 0 & 0 & ldots & 1 an-1 & an-2 & an-3 & ldots & a0

Passo 1

A questão pede o polinômio característico de uma matriz que tem uns na superdiagonal e na última linha os coeficientes an-1,an-2,dots,a0. O conteúdo é o conceito de polinômio característico e vamos usar definição via determinante e expansão de Laplace.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico como
p(lambda)=det(lambda I - A)
e montamos
lambda I - A= lambda & -1 & 0 & cdots & 0 0 & lambda & -1 & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & -1 0 & 0 & 0 & cdots & lambda - a0
com a última linha completa em lambda I - A:
(-an-1,;-an-2,;dots,;lambda - a0)

Passo 3

Visto que só a última linha tem entradas não-telistantes, fazemos expansão de Laplace ao longo dessa linha. As entradas são
  • Para 1<= j< n: mn,j=-an-j.
  • Para j=n: mn,n=lambda - a0.
    Os cofatores envolvem (-1)^n+j vezes o determinante do menor.

Passo 4

Analisando os menores:
  • Para j=n, ao remover última linha e última coluna sobra uma matriz triangular superior de tamanho n-1 com diagonal lambda, logo o menor vale lambda^n-1.
  • Para j<n, o menor é também quase triangular, e seu determinante fornece exatamente lambda^j-1 (com sinais que se cancelam pela expansão).

Passo 5

Somando tudo na expansão
p(lambda)=(lambda - a0),lambda^n-1+sumj=1^n-1(-1)^n+j(-an-j),l[(-1)^n+jlambda^j-1r] =lambda^n-sumi=0^n-1ai,lambda^i

Passo 6

Concluímos, então, que o polinômio característico é dado por:
p(lambda)=lambda^n-sumi=0^n-1ai,lambda^i

Resposta

p(lambda)=lambda^n-sumi=0^n-1ailambda^i

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