Seja um subespaço invariante pelo operador linear . , seja a projeção sobre paralelamente a . Indique com a restrição de a e com o operador dado por . Prove que . . Seja uma base de , formada por uma base de seguida por outra de . Mostre que a matriz de na base tem a forma
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial E decomposto como soma direta E=F1oplus F2, onde F1 é invariante por um operador linear A:Eto E. Definimos A1=A|F1 e A2:F2to F2 por A2v=PAv, sendo P a projeção em F2 paralelamente a F1. O objetivo é mostrar que a matriz de A numa base que junta uma base de F1 e depois de F2 é triangular por blocos e que isso implica
Passo 2
Escolhemos uma base (u1,dots,um) de F1 e uma base (v1,dots,vn) de F2. Formamos a base U=(u1,dots,um,v1,dots,vn) de E.
Passo 3
Como F1 é invariante por A, para cada ui temos A(ui)in F1. Logo, ao escrever A(ui) na base U, suas componentes nas direções vj (que formam o subespaço F2) são zero. Isso garante o bloco inferior esquerda da matriz de A igual a zero.
Passo 4
Para cada vj em F2, podemos decompor A(vj)=w1+w2 com w1in F1 e w2in F2. As coordenadas de w1 na base de F1 formam o bloco superior direito b, e as coordenadas de w2=P(A(vj))=A2(vj) na base de F2 formam o bloco inferior direito a2. O bloco superior esquerdo a1 já é a matriz de A1 na base de F1.
Passo 5
Com isso, a matriz de A na base U fica na forma
a1 & b 0 & a2
Como essa matriz é triangular por blocos, seu polinômio característico é o produto dos polinômios característicos dos blocos diagonais. Portanto