Seja F1 subset E um subespaço invariante pelo operador linear A: E E. S e E=F1 oplus F2, seja P a projeção sobre F2 paralelamente a F1. Indique com A1: F1 F1 a restrição de A a F1 e com A2: F2 F2 o operador dado por A2 v=P A v, v in F2. Prove que pA(lambda)=pA1(lambda). pA2(lambda). Seja U uma base de E, formada por uma base de F1 seguida por outra de F2. Mostre que a matriz de A na base U tem a forma
[cc a1 & b 0 & a2 ]

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial E decomposto como soma direta E=F1oplus F2, onde F1 é invariante por um operador linear A:Eto E. Definimos A1=A|F1 e A2:F2to F2 por A2v=PAv, sendo P a projeção em F2 paralelamente a F1. O objetivo é mostrar que a matriz de A numa base que junta uma base de F1 e depois de F2 é triangular por blocos e que isso implica

Passo 2

Escolhemos uma base (u1,dots,um) de F1 e uma base (v1,dots,vn) de F2. Formamos a base U=(u1,dots,um,v1,dots,vn) de E.

Passo 3

Como F1 é invariante por A, para cada ui temos A(ui)in F1. Logo, ao escrever A(ui) na base U, suas componentes nas direções vj (que formam o subespaço F2) são zero. Isso garante o bloco inferior esquerda da matriz de A igual a zero.

Passo 4

Para cada vj em F2, podemos decompor A(vj)=w1+w2 com w1in F1 e w2in F2. As coordenadas de w1 na base de F1 formam o bloco superior direito b, e as coordenadas de w2=P(A(vj))=A2(vj) na base de F2 formam o bloco inferior direito a2. O bloco superior esquerdo a1 já é a matriz de A1 na base de F1.

Passo 5

Com isso, a matriz de A na base U fica na forma
a1 & b 0 & a2
Como essa matriz é triangular por blocos, seu polinômio característico é o produto dos polinômios característicos dos blocos diagonais. Portanto
pA(lambda)=det(a1-lambda I)cdotdet(a2-lambda I)=pA1(lambda),pA2(lambda)

Resposta

A matriz de A na base U é
a1 & b 0 & a2
e, por ser triangular por blocos,
pA(lambda)=pA1(lambda),pA2(lambda)

Exercícios de Livros Relacionados