Aplicando o processo de Gram-Schmidt às colunas da matriz
a=[ccc 1 & 2 & 2 3 & 3 & 4 4 & -1 & 3 ]
obtenha a decomposição a=q r, onde q é ortogonal e r é triangular superior, com elementos positivos na diagonal.

Passo 1

A gente tem a matriz a cujas colunas são a1,a2,a3, e quer usar Gram-Schmidt para escrever a=QR, onde Q tem colunas ortonormais e R é triangular superior com diagonais positivas. Vamos precisar calcular normas de vetores, projeções e subtrair componentes para gerar vetores ortogonais.

Passo 2

Começo com a1=(1,3,4)^T. Calculo
r11=|a1|=raiz1^2+3^2+4^2=raiz26, q1=a1r11=1raiz26134

Passo 3

Agora trato a2=(2,3,-1)^T. Primeiro a projeção em q1:
r12=q1^T a2=2+9-4raiz26=7raiz26,
então
u2=a2-r12q1=23-1-7raiz261raiz26134=45/2657/26-54/26
Depois a norma e o vetor ortonormal:
r22=|u2|=raiz819026, q2=u2r22=1raiz81904557-54

Passo 4

Agora a3=(2,4,3)^T. Projeções sucessivas:
r13=q1^T a3=2+12+12raiz26=raiz26,
r23=q2^T a3=1raiz8190(45cdot2+57cdot4-54cdot3)=52raiz910
Depois
u3=a3-r13q1-r23q2=13/91-39/45513/455,
r33=|u3|=raiz5915455, q3=u3r33=1raiz591565-3913

Passo 5

Por fim monto as matrizes:
Q= tfrac1raiz26 & tfrac45raiz8190 & tfrac65raiz5915 tfrac3raiz26 & tfrac57raiz8190 & -tfrac39raiz5915 tfrac4raiz26 & -tfrac54raiz8190 & tfrac13raiz5915, R= raiz26 & tfrac7raiz26 & raiz26 0 & tfracraiz819026 & tfrac52raiz910 0 & 0 & tfracraiz5915455

Resposta

Q= 1raiz26 & 45raiz8190 & 65raiz5915 3raiz26 & 57raiz8190 & -39raiz5915 4raiz26 & -54raiz8190 & 13raiz5915, R= raiz26 & 7raiz26 & raiz26 0 & raiz819026 & 52raiz910 0 & 0 & raiz5915455

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