Foi visto no texto que se a=l u é a decomposição da matriz positiva a e d é a matriz diagonal formada pelas raízes quadradas di i=raizui i dos pivôs então a=(l d) cdot(d^-1 u) é a decomposição de Cholesky de a. Modifique ligeiramente este argumento para provar que existe uma decomposição de Cholesky a=t^top.t para qualquer matriz não-negativa a. (Mas agora não há unicidade.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda matriz simétrica não-negativa A admite uma decomposição de Cholesky A=T^top T. Vamos usar a ideia básica de fatoração em triângulos (como fizemos no caso definido-positivo), mas permitindo pivôs nulos e sem exigir unicidade.

Passo 2

Como A é simétrica e não-negativa, podemos aplicar a eliminação de Gauss sem permutações para obter uma decomposição do tipo A=L,D,U. Pelo fato de A ser simétrica, vai ocorrer que U=L^top e as entradas diagonais de D, digamos dii, satisfazem dii>=0. Assim temos a chamada decomposição LDL^top:
A ,=, L,D,L^top,
onde:
  • L é triangular inferior com uns na diagonal,
  • D=diag(d11,d22,dots,dnn) com dii>=0.

Passo 3

Agora que temos A=L,D,L^top, vamos extrair raízes quadradas dos pivôs não-negativos. Defina a matriz diagonal:
D^1/2 = diag(raizd11,raizd22,dots,raizdnn)
Como cada dii>=0, essa raiz está bem definida. Note que D=(D^1/2)^2.

Passo 4

Por fim, basta montar o fator T triangular superior a partir de L e D^1/2. Defina
T = D^1/2,L^top
Então
T^top = L,D^1/2
e multiplicando obtemos
T^top T = (L,D^1/2) (D^1/2,L^top) = L,(D^1/2D^1/2),L^top = L,D,L^top = A
Isso é exatamente uma decomposição de Cholesky (com T triangular).

Passo 5

Note que se algum dii=0, a linha e a coluna correspondentes de A são nulas naquele estágio, o que faz com que exista certa liberdade de escolher a raiz quadrada (por exemplo, mudar o sinal ou permutar colunas de T). Por isso a fatoração não é única quando A é apenas semidefinida.

Passo 6

Pronto! Construímos explicitamente T triangular tal que A=T^top T, provando a existência da decomposição de Cholesky para qualquer matriz simétrica não-negativa.

Resposta

Basta usar a decomposição LDL^\top de A=L,D,L^top e definir T=D^1/2L^top, pois então T^top T=L,D^1/2D^1/2L^top=L,D,L^top=A.

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