Foi visto no texto que se
é a decomposição da matriz positiva a e d é a matriz diagonal formada pelas raízes quadradas
dos pivôs então
é a decomposição de Cholesky de a. Modifique ligeiramente este argumento para provar que existe uma decomposição de Cholesky
.t para qualquer matriz não-negativa a. (Mas agora não há unicidade.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda matriz simétrica não-negativa
admite uma decomposição de Cholesky
. Vamos usar a ideia básica de fatoração em triângulos (como fizemos no caso definido-positivo), mas permitindo pivôs nulos e sem exigir unicidade.
Passo 2
Como
é simétrica e não-negativa, podemos aplicar a eliminação de Gauss sem permutações para obter uma decomposição do tipo
. Pelo fato de
ser simétrica, vai ocorrer que
e as entradas diagonais de
, digamos
, satisfazem
. Assim temos a chamada decomposição
:
onde:
-
é triangular inferior com uns na diagonal, -
com .
Passo 3
Agora que temos
, vamos extrair raízes quadradas dos pivôs não-negativos. Defina a matriz diagonal:
Como cada
, essa raiz está bem definida. Note que
.
Passo 4
Por fim, basta montar o fator
triangular superior a partir de
e
. Defina
Então
e multiplicando obtemos
Isso é exatamente uma decomposição de Cholesky (com
triangular).
Passo 5
Note que se algum
, a linha e a coluna correspondentes de
são nulas naquele estágio, o que faz com que exista certa liberdade de escolher a raiz quadrada (por exemplo, mudar o sinal ou permutar colunas de
). Por isso a fatoração não é única quando
é apenas semidefinida.
Passo 6
Pronto! Construímos explicitamente
triangular tal que
, provando a existência da decomposição de Cholesky para qualquer matriz simétrica não-negativa.
Resposta
Basta usar a decomposição LDL^\top de
e definir
, pois então
.