Prove que os vetores v1, ldots, vk in E geram um subespaço vetorial de dimensão r se, e somente se, a matriz de Gram g(v1, ldots, vk) tem posto r.

Passo 1

O enunciado quer mostrar a equivalência entre duas quantidades: a dimensão do subespaço gerado pelos vetores v1,dots,vk e o posto da matriz de Gram G = (lang<= vi,vjrang<=)i,j. O conteúdo envolve produto interno, matrizes (especialmente a Gramiana) e a noção de posto e dimensão de espaço vetorial. Para resolver, vamos usar uma base ortonormal, a representação matricial dos vetores e a propriedade rank(A^T A)=rank(A).

Passo 2

Escolhemos uma base ortonormal B de E. Em relação a B, escrevemos cada vetor vj como coluna de uma matriz AinR^ntimes k. Ou seja,
A = l[ [v1]B ;[v2]B;cdots;[vk]B r]

Passo 3

Pela definição do produto interno e da base ortonormal, a matriz de Gram é
G = l(lang<= vi,vjrang<=r)i,j = A^T,A

Passo 4

Uma propriedade fundamental de matrizes diz que
rank(A^T A) = rank(A)

Passo 5

Agora, rank(A) é exatamente a dimensão do espaço gerado pelas colunas de A, que são os vetores v1,dots,vk. Em outras palavras,
diml(Spanv1,dots,vkr) = rank(A)

Passo 6

Juntando as igualdades, obtemos
dimllang<= v1,dots,vkrrang<= = rank(A) = rank(A^T A) = rank(G)

Resposta

Os vetores geram um subespaço de dimensão r se, e somente se, rank(G)=r, pois G=A^TA e rank(A^TA)=rank(A)=dimSpanvi.

Exercícios de Livros Relacionados