Prove que os vetores
geram um subespaço vetorial de dimensão r se, e somente se, a matriz de
tem posto
.
Passo 1
O enunciado quer mostrar a equivalência entre duas quantidades: a dimensão do subespaço gerado pelos vetores
e o posto da matriz de Gram
. O conteúdo envolve produto interno, matrizes (especialmente a Gramiana) e a noção de posto e dimensão de espaço vetorial. Para resolver, vamos usar uma base ortonormal, a representação matricial dos vetores e a propriedade
.
Passo 2
Escolhemos uma base ortonormal
de
. Em relação a
, escrevemos cada vetor
como coluna de uma matriz
. Ou seja,
Passo 3
Pela definição do produto interno e da base ortonormal, a matriz de Gram é
Passo 4
Uma propriedade fundamental de matrizes diz que
Passo 5
Agora,
é exatamente a dimensão do espaço gerado pelas colunas de
, que são os vetores
. Em outras palavras,
Passo 6
Juntando as igualdades, obtemos
Resposta
Os vetores geram um subespaço de dimensão
se, e somente se,
, pois
e
.