Dada a matriz
a=[ll 1 & 1 2 & 1 ],
obtenha sua decomposição a=p d q a valores singulares.

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em valores singulares da matriz a=1 & 12 & 1. Isso cai no conteúdo de Decomposição em Valores Singulares (SVD), em que a gente escreve a=P,D,Q, com P e Q ortogonais e D diagonal cujas entradas são os valores singulares de a.

Passo 2

Para achar os valores singulares, primeiro calculamos a^Ta:
a^Ta =1 & 21 & 1 1 & 12 & 1 =5 & 33 & 2
Em seguida, vamos achar os autovalores dessa matriz resolvendo
detl(a^Ta-lambdaIr) =det5-lambda & 33 & 2-lambda =(5-lambda)(2-lambda)-9=0

Passo 3

O determinante gera o polinômio característico
lambda^2-7lambda+1=0,
cuja solução é
lambda1,2=7pmraiz7^2-4cdot1cdot12 =7pm3raiz52
Os valores singulares são sigmai=raizlambdai, ou seja:
sigma1=raiztfrac7+3raiz52, sigma2=raiztfrac7-3raiz52

Passo 4

Agora achamos os autovetores de a^Ta para montar Q=V^T. Para lambda1=(7+3raiz5)/2, a equação (5-lambda1)v1+3v2=0
v2=lambda1-53v1=raiz5-12v1
Normalizando o vetor (1,(,raiz5-1)/2), obtemos
v1=raiztfrac5+raiz510[6pt]raiztfrac5-raiz510
Analogamente, para lambda2=(7-3raiz5)/2 o autovetor normalizado é
v2=-raiztfrac5-raiz510[6pt]raiztfrac5+raiz510
Logo
Q=V^T =v1^T[3pt]v2^T = raiztfrac5+raiz510 & raiztfrac5-raiz510 -raiztfrac5-raiz510 & raiztfrac5+raiz510
]

Passo 5

Para montar P=U, fazemos o mesmo com a,a^T=2 & 33 & 5. Seus autovetores, normalizados, resultam em
u1=raiztfrac5-raiz510[6pt]raiztfrac5+raiz510, u2=-raiztfrac5+raiz510[6pt]raiztfrac5-raiz510
Assim
P=U= u1 & u2 = raiztfrac5-raiz510 & -raiztfrac5+raiz510[6pt] raiztfrac5+raiz510 & raiztfrac5-raiz510
]

Passo 6

Por fim, a matriz D é diagonal com os valores singulares em ordem decrescente:
D= raiztfrac7+3raiz52 & 0[6pt] 0 & raiztfrac7-3raiz52
Reunindo tudo, temos a decomposição a=P,D,Q.]

Resposta

P= raiztfrac5-raiz510 & -raiztfrac5+raiz510[6pt] raiztfrac5+raiz510 & raiztfrac5-raiz510 , D= raiztfrac7+3raiz52 & 0[6pt] 0 & raiztfrac7-3raiz52 , Q= raiztfrac5+raiz510 & raiztfrac5-raiz510[6pt] -raiztfrac5-raiz510 & raiztfrac5+raiz510
]

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