A partir da decomposição lu, obtenha a decomposição de Cholesky das matrizes positivas a= matriz de Gram dos vetores u=(1,2,1), v=(1,1,2), w=(2,1,3) e b= produto da matriz
m=[llll 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 & 1 2 & 1 & 2 & 2 2 & 2 & 1 & 3 ]
por sua transposta.

Passo 1

A questão pede as decomposições de Cholesky de duas matrizes simétricas: a matriz de Gram dos vetores u,v,w (vamos chamar de A) e a matriz B=m,m^T. Para isso, precisamos usar o fato de que uma matriz definida positiva M admite M=LL^T, onde L é triangular inferior com entradas dadas por fórmulas padrão de Cholesky.

Passo 2

Primeiro, calculamos a matriz de Gram A. Os produtos internos são
lang<= u,urang<==6, lang<= u,vrang<==5, lang<= u,wrang<==7, lang<= v,vrang<==6, lang<= v,wrang<==9, lang<= w,wrang<==14
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A= 6 & 5 & 7 5 & 6 & 9 7 & 9 & 14

Passo 3

Para fazer a decomposição de Cholesky de A, escrevemos
L= ell11&0&0 ell21&ell22&0 ell31&ell32&ell33 , A=LL^T,
e aplicamos as fórmulas
ell11=raiza11, elli1=ai1/ell11, ell22=raiza22-ell21^2, ell32=(a32-ell31ell21)/ell22, ell33=raiza33-ell31^2-ell32^2

Passo 4

Substituindo números, obtemos
ell11=raiz6, ell21=5raiz6, ell31=7raiz6, ell22=raiz6-256=raiz116, ell32=9-356raiz11/6=196raiz611, ell33=raiz14-496-36166=2raiz11

Passo 5

Portanto a decomposição de Cholesky de A é
A=LL^T, L= raiz6 & 0 & 0 dfrac5raiz6 & raiztfrac116 & 0 dfrac7raiz6 & dfrac196raiztfrac611 & dfrac2raiz11

Passo 6

Agora, definimos B=m,m^T. Calculando produtos de linhas de m, achamos
B= 4 & 5 & 7 & 8 5 & 7 & 8 & 10 7 & 8 & 13 & 14 8 & 10 & 14 & 18

Passo 7

Para Cholesky, precisaríamos B=LL^T com Lii>0. Mas ao aplicar as fórmulas, chegamos a um pivô ell33=0 e indeterminação em ell43. Isso ocorre porque B é semidefinida positiva (não definida positiva), já que rank(m)<4. Logo não existe decomposição de Cholesky tradicional para B.

Resposta

Para a matriz de Gram A, a decomposição de Cholesky é
A=LL^T, L= raiz6 & 0 & 0 dfrac5raiz6 & raiztfrac116 & 0 dfrac7raiz6 & dfrac196raiztfrac611 & dfrac2raiz11
Para B=m,m^T, não existe decomposição de Cholesky tradicional porque B é apenas semidefinida positiva (não definida positiva).

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