A partir da decomposição lu, obtenha a decomposição de Cholesky das matrizes positivas matriz de Gram dos vetores e produto da matriz
por sua transposta.
Passo 1
A questão pede as decomposições de Cholesky de duas matrizes simétricas: a matriz de Gram dos vetores u,v,w (vamos chamar de A) e a matriz B=m,m^T. Para isso, precisamos usar o fato de que uma matriz definida positiva M admite M=LL^T, onde L é triangular inferior com entradas dadas por fórmulas padrão de Cholesky.
Passo 2
Primeiro, calculamos a matriz de Gram A. Os produtos internos são
Para Cholesky, precisaríamos B=LL^T com Lii>0. Mas ao aplicar as fórmulas, chegamos a um pivô ell33=0 e indeterminação em ell43. Isso ocorre porque B é semidefinida positiva (não definida positiva), já que rank(m)<4. Logo não existe decomposição de Cholesky tradicional para B.
Resposta
Para a matriz de Gram A, a decomposição de Cholesky é