Prove que a^top a é a matriz de Gram dos vetores-coluna de a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz A cujas colunas são vetores a1, a2, dots, an em R^m, o produto A^topA coincide com a matriz de Gram desses vetores-coluna. Vamos usar definição de matriz de Gram e propriedades do produto de matrizes.

Passo 2

A matriz de Gram de um conjunto de vetores a1, a2, dots, an em R^m é a matriz Gin R^ntimes n cujos elementos são os produtos internos:
Gij = lang<= ai, aj rang<= = ai^topaj

Passo 3

Pelo produto de matrizes, o elemento (i,j) de A^topA é
(A^topA)ij = sumk=1^m (A^top)ik,Akj
Como (A^top)ik = Aki, segue
(A^topA)ij = sumk=1^m Aki,Akj
Esse somatório é exatamente o produto interno entre a coluna i e a coluna j de A, ou seja, ai^topaj.

Passo 4

Como mostramos que cada entrada (A^topA)ij coincide com lang<= ai,ajrang<= = Gij, concluímos que
A^topA = G,
ou seja, A^topA é de fato a matriz de Gram dos vetores-coluna de A.

Resposta

A^topA é a matriz de Gram dos vetores-coluna de A.

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