Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) O conjunto das formas quadráticas de índice i no espaço vetorial E é um cone convexo em F(E ; R).
( ) A matriz do operador B: E E na base U é igual à matriz da forma bilinear b(u, v)=lang<= u, B vrang<= na mesma base.
( ) As formas bilineares b e b^*, que correspondem aos operadores B e B^* segundo o Teorema 18.2, definem a mesma forma quadrática varphi(v)=b(v, v)=b^*(v, v).
( ) O operador auto-adjunto B: E E e a forma bilinear simétrica b: E times E R, que lhe corresponde conforme o Teorema 18.2, têm a mesma matriz relativamente a qualquer base de E .

Passo 1

O enunciado pede pra marcar Verdadeiro (V) ou Falso (F) em quatro afirmações sobre formas quadráticas de índice i, matrizes de operadores e formas bilineares associadas, operadores adjuntos e auto‐adjuntos. Vamos usar conceitos de teoria de formas quadráticas (índice e inércia de Sylvester), definição de matriz de forma bilinear e matriz de operador linear em base qualquer, e propriedades de operadores adjuntos.

Passo 2

A afirmação “o conjunto das formas quadráticas de índice i no espaço E é um cone convexo” é falsa. Tecnicamente, índice i indica o número de autovalores negativos numa forma quadrática (teorema da inércia de Sylvester). Se φ₁ e φ₂ têm índice i mas não são definidas positivas (i≠0 nem i=dimE), uma combinação λφ₁+(1−λ)φ₂ pode mudar a inércia (isto é, o número de sinais negativos), logo não preserva o índice i para todo 0<λ<1. Portanto não é um cone convexo.

Passo 3

A afirmação sobre a matriz do operador B em relação à base 𝒰 ser igual à matriz da forma bilinear b(u,v)=⟨u,Bv⟩ na mesma base também é falsa, salvo se 𝒰 for ortonormal em relação ao produto interno. Em geral, se G é a matriz de Gram de 𝒰 (G_{ij}=⟨e_i,e_j⟩), então a matriz da forma bilinear é M_b=G·M_B, e só dá M_b=M_B quando G=I.

Passo 4

Para as formas bilineares b e b* associadas a B e ao adjunto B*, temos b(v,v)=⟨v,Bv⟩ e b*(v,v)=⟨v,Bv⟩. Mas por definição de adjunto ⟨v,Bv⟩=⟨Bv,v⟩=⟨v,Bv⟩, então b(v,v)=b*(v,v) para todo v. Logo as duas definem a mesma forma quadrática, e a afirmação é verdadeira.

Passo 5

O último item diz que, se B é auto‐adjunto, então a matriz de B e a matriz da forma bilinear simétrica correspondente coincidem em qualquer base. Isso é falso em base arbitrária: mesmo que B seja simétrico (M_B=M_B^T), a matriz da forma bilinear é M_b=G·M_B, com G a matriz de Gram da base. Apenas em base ortonormal (G=I) temos M_b=M_B.

Resposta

F, F, V, F

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