Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) O conjunto das formas quadráticas de índice i no espaço vetorial
é um cone convexo em
.
( ) A matriz do operador
na base
é igual à matriz da forma bilinear
na mesma base.
( ) As formas bilineares
e
, que correspondem aos operadores B e
segundo o Teorema 18.2, definem a mesma forma quadrática
.
( ) O operador auto-adjunto
e a forma bilinear simétrica
, que lhe corresponde conforme o Teorema 18.2, têm a mesma matriz relativamente a qualquer base de E .
( ) O conjunto das formas quadráticas de índice i no espaço vetorial
( ) A matriz do operador
( ) As formas bilineares
( ) O operador auto-adjunto
Passo 1
O enunciado pede pra marcar Verdadeiro (V) ou Falso (F) em quatro afirmações sobre formas quadráticas de índice i, matrizes de operadores e formas bilineares associadas, operadores adjuntos e auto‐adjuntos. Vamos usar conceitos de teoria de formas quadráticas (índice e inércia de Sylvester), definição de matriz de forma bilinear e matriz de operador linear em base qualquer, e propriedades de operadores adjuntos.
Passo 2
A afirmação “o conjunto das formas quadráticas de índice i no espaço E é um cone convexo” é falsa. Tecnicamente, índice i indica o número de autovalores negativos numa forma quadrática (teorema da inércia de Sylvester). Se φ₁ e φ₂ têm índice i mas não são definidas positivas (i≠0 nem i=dimE), uma combinação λφ₁+(1−λ)φ₂ pode mudar a inércia (isto é, o número de sinais negativos), logo não preserva o índice i para todo 0<λ<1. Portanto não é um cone convexo.
Passo 3
A afirmação sobre a matriz do operador B em relação à base 𝒰 ser igual à matriz da forma bilinear b(u,v)=⟨u,Bv⟩ na mesma base também é falsa, salvo se 𝒰 for ortonormal em relação ao produto interno. Em geral, se G é a matriz de Gram de 𝒰 (G_{ij}=⟨e_i,e_j⟩), então a matriz da forma bilinear é M_b=G·M_B, e só dá M_b=M_B quando G=I.
Passo 4
Para as formas bilineares b e b* associadas a B e ao adjunto B*, temos b(v,v)=⟨v,Bv⟩ e b*(v,v)=⟨v,Bv⟩. Mas por definição de adjunto ⟨v,Bv⟩=⟨Bv,v⟩=⟨v,Bv⟩, então b(v,v)=b*(v,v) para todo v. Logo as duas definem a mesma forma quadrática, e a afirmação é verdadeira.
Passo 5
O último item diz que, se B é auto‐adjunto, então a matriz de B e a matriz da forma bilinear simétrica correspondente coincidem em qualquer base. Isso é falso em base arbitrária: mesmo que B seja simétrico (M_B=M_B^T), a matriz da forma bilinear é M_b=G·M_B, com G a matriz de Gram da base. Apenas em base ortonormal (G=I) temos M_b=M_B.
Resposta
F, F, V, F