Determine a matriz de cada uma das formas bilineares abaixo, relativamente à base especificada:
b: mathbbR^4 times R^4 R, b(u, v)=lang<= u, vrang<=, base v1, v2, v3, v4 subset R^4, onde v1=(-2,0,3,1), v2=(1,2,1,-1), v3=(0,1,2,-1), v4=(1,2,3,1).

Passo 1

No enunciado, a gente precisa achar a matriz da forma bilinear b(u,v)=⟨u,v⟩ (produto interno usual) em ℝ⁴, mas expressa na base {v₁,v₂,v₃,v₄} dada. O conteúdo aqui é entender que essa matriz é a matriz de Gram G, com entradas G_{ij}=⟨v_i,v_j⟩.

Passo 2

Para achar G_{ij}, lembramos que ⟨u,v⟩=u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃+u₄v₄. Vamos calcular todos os produtos internos entre v₁, v₂, v₃ e v₄ de uma vez só:
Começando pelos produtos envolvendo v₁:
<v1,v1>=(-2)^2+0^2+3^2+1^2=14, <v1,v2>=(-2)cdot1+0cdot2+3cdot1+1cdot(-1)=0,
<v1,v3>=(-2)cdot0+0cdot1+3cdot2+1cdot(-1)=5, <v1,v4>=(-2)cdot1+0cdot2+3cdot3+1cdot1=8

Passo 3

Agora os produtos com v₂:
<v2,v2>=1^2+2^2+1^2+(-1)^2=7, <v2,v3>=1cdot0+2cdot1+1cdot2+(-1)cdot(-1)=5,
<v2,v4>=1cdot1+2cdot2+1cdot3+(-1)cdot1=7

Passo 4

Finalmente, v₃ e v₄ entre si:
<v3,v3>=0^2+1^2+2^2+(-1)^2=6, <v3,v4>=0cdot1+1cdot2+2cdot3+(-1)cdot1=7, <v4,v4>=1^2+2^2+3^2+1^2=15

Passo 5

Com esses valores, montamos a matriz de Gram G na base {v₁,v₂,v₃,v₄}.

Resposta

A matriz da forma bilinear b na base dada é:
G = 14 & 0 & 5 & 8 0 & 7 & 5 & 7 5 & 5 & 6 & 7 8 & 7 & 7 & 15

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