Determine a matriz de cada uma das formas bilineares abaixo, relativamente à base especificada:
b:
, base
, onde
.
b:
Passo 1
No enunciado, a gente precisa achar a matriz da forma bilinear b(u,v)=⟨u,v⟩ (produto interno usual) em ℝ⁴, mas expressa na base {v₁,v₂,v₃,v₄} dada. O conteúdo aqui é entender que essa matriz é a matriz de Gram G, com entradas G_{ij}=⟨v_i,v_j⟩.
Passo 2
Para achar G_{ij}, lembramos que ⟨u,v⟩=u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃+u₄v₄. Vamos calcular todos os produtos internos entre v₁, v₂, v₃ e v₄ de uma vez só:
Começando pelos produtos envolvendo v₁:
Começando pelos produtos envolvendo v₁:
Passo 3
Agora os produtos com v₂:
Passo 4
Finalmente, v₃ e v₄ entre si:
Passo 5
Com esses valores, montamos a matriz de Gram G na base {v₁,v₂,v₃,v₄}.
Resposta
A matriz da forma bilinear b na base dada é: