Seja A: E F uma transformação linear invertível. Para toda forma quadrática psi: F R, prove que varphi=psi circ A: E R é uma forma quadrática em E, com o mesmo índice e o mesmo posto que psi.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos uma aplicação linear invertível A: E to F e uma forma quadrática psi: F to R. Precisamos mostrar que a composição varphi=psicirc A é uma forma quadrática em E e que o índice de positividade, o índice de negatividade e o posto de varphi coincidem com os de psi. Vamos usar conceitos de formas bilineares simétricas e a Lei de Inércia de Sylvester.

Passo 2

Para provar que varphi é forma quadrática, lembre que toda forma quadrática psi em F tem associada uma forma bilinear simétrica Bpsi dada por
Bpsi(u,v)=psi(u+v)-psi(u)-psi(v)+psi(0)2
Definimos em E a forma bilinear
Bvarphi(x,y)=Bpsil(Ax,Ayr)
que é simétrica e satisfaz varphi(x)=Bvarphi(x,x).

Passo 3

Para o posto, note que, fixadas bases de E e F em que [A]=P é invertível e [Bpsi]=M, a matriz de Bvarphi é
P^T,M,P
Como multiplicação por matrizes inversíveis não altera posto, tem-se
rank(Bvarphi)=rank(Bpsi),
e portanto rank(varphi)=rank(psi).

Passo 4

Para os índices de positividade e negatividade, use a definição via subespaços maximais: se Ssubset E é um subespaço de dimensão k onde varphi>0, então A(S)subset F é de mesma dimensão e psi>0 em todos os vetores não nulos, por invertibilidade de A. Isso dá uma bijeção entre subespaços positivos (e negativos) de E e de F, mostrando que os índices de varphi e psi coincidem.

Passo 5

Pelo teorema de Sylvester (Lei da Inércia), formas bilineares simétricas congruentes têm exatamente os mesmos índices e posto. Já vimos que Bvarphi e Bpsi são congruentes via P. Logo, varphi e psi têm mesmo índice de positividade, índice de negatividade e posto.

Resposta

A função varphi=psicirc A é de fato uma forma quadrática em E e possui o mesmo posto e os mesmos índices (positividade e negatividade) que psi, conforme demonstrado pela congruência das formas bilineares associadas e pela Lei de Inércia de Sylvester.

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