Seja
uma transformação linear invertível. Para toda forma quadrática
, prove que
é uma forma quadrática em
, com o mesmo índice e o mesmo posto que
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos uma aplicação linear invertível
e uma forma quadrática
. Precisamos mostrar que a composição
é uma forma quadrática em
e que o índice de positividade, o índice de negatividade e o posto de
coincidem com os de
. Vamos usar conceitos de formas bilineares simétricas e a Lei de Inércia de Sylvester.
Passo 2
Para provar que
é forma quadrática, lembre que toda forma quadrática
em
tem associada uma forma bilinear simétrica
dada por
Definimos em
a forma bilinear
que é simétrica e satisfaz
.
Passo 3
Para o posto, note que, fixadas bases de
e
em que
é invertível e
, a matriz de
é
Como multiplicação por matrizes inversíveis não altera posto, tem-se
e portanto
.
Passo 4
Para os índices de positividade e negatividade, use a definição via subespaços maximais: se
é um subespaço de dimensão
onde
, então
é de mesma dimensão e
em todos os vetores não nulos, por invertibilidade de
. Isso dá uma bijeção entre subespaços positivos (e negativos) de
e de
, mostrando que os índices de
e
coincidem.
Passo 5
Pelo teorema de Sylvester (Lei da Inércia), formas bilineares simétricas congruentes têm exatamente os mesmos índices e posto. Já vimos que
e
são congruentes via
. Logo,
e
têm mesmo índice de positividade, índice de negatividade e posto.
Resposta
A função
é de fato uma forma quadrática em
e possui o mesmo posto e os mesmos índices (positividade e negatividade) que
, conforme demonstrado pela congruência das formas bilineares associadas e pela Lei de Inércia de Sylvester.