Determine a matriz de cada uma das formas bilineares abaixo, relativamente à base especificada:
b: R^n times R^n R, b(u, v)=lang<= u, arang<= cdotlang<= v, brang<=, a, b in R^n, base canônica de R^n.

Passo 1

O enunciado pede a matriz, na base canônica, da forma bilinear b(u,v)=⟨u,a⟩⋅⟨v,b⟩ em ℝⁿ×ℝⁿ.

Passo 2

Lembrando que toda forma bilinear b pode ser escrita como b(u,v)=uᵀMv, onde M é a matriz associada na base canônica.

Passo 3

Como ⟨u,a⟩=uᵀa e ⟨v,b⟩=vᵀb, temos
b(u,v)= (u^T a),(v^T b),
mas também podemos reescrever
(u^T a),(v^T b) = u^T l(a,b^Tr),v
Logo, o produto interno fica no formato uᵀMv com M=a\bᵀ.

Resposta

A matriz da forma bilinear, na base canônica, é M = a,b^T.

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