Dadas as formas quadráticas abaixo, use o método de Lagrange para exprimi-las como somas e diferenças de quadrados e, a partir daí, determine o índice e o posto de cada uma delas:
Passo 1
A questão nos dá a forma quadrática
. O conteúdo é formas quadráticas e vamos usar o método de Lagrange (completar quadrados) para escrevê-la como soma e diferença de quadrados, e daí extrair o índice (número de quadrados com coeficiente positivo) e o posto (número total de quadrados não nulos).
Passo 2
Primeiro, agrupamos os termos em
e
para completar quadrado em relação a essas variáveis:
Em seguida, completamos o quadrado em
:
Substituindo de volta em
, temos:
Simplificando os termos em
:
Então
Passo 3
Agora agrupamos
e
:
Dentro do parêntese completamos o quadrado:
Logo
Passo 4
Juntando tudo, a forma quadrática fica:
Passo 5
Dessa expressão vemos três quadrados não nulos: um com coeficiente positivo
e dois com coeficientes negativos (
e
). Portanto o índice (número de sinais positivos) é 1 e o posto (número total de quadrados) é 3.