Dadas as formas quadráticas abaixo, use o método de Lagrange para exprimi-las como somas e diferenças de quadrados e, a partir daí, determine o índice e o posto de cada uma delas:
zeta(x, y, z)=8 x^2+36 y z-6 y^2-27 z^2-24 x y

Passo 1

A questão nos dá a forma quadrática zeta(x,y,z)=8x^2+36yz-6y^2-27z^2-24xy. O conteúdo é formas quadráticas e vamos usar o método de Lagrange (completar quadrados) para escrevê-la como soma e diferença de quadrados, e daí extrair o índice (número de quadrados com coeficiente positivo) e o posto (número total de quadrados não nulos).

Passo 2

Primeiro, agrupamos os termos em x e y para completar quadrado em relação a essas variáveis:
8x^2-24xy-6y^2 = 8l(x^2-3xyr)-6y^2
Em seguida, completamos o quadrado em x:
x^2-3xy = l(x-tfrac32yr)^2 - tfrac94y^2
Substituindo de volta em zeta, temos:
zeta = 8l(x-tfrac32yr)^2 - 8cdottfrac94y^2 -6y^2 +36yz -27z^2
Simplificando os termos em y^2:
-8cdottfrac94y^2 -6y^2 = -18y^2 -6y^2 = -24y^2
Então
zeta = 8l(x-tfrac32yr)^2 -24y^2 +36yz-27z^2

Passo 3

Agora agrupamos y e z:
-24y^2+36yz-27z^2 = -3l(8y^2-12yz+9z^2r)
Dentro do parêntese completamos o quadrado:
8y^2-12yz+9z^2 = l(2raiz2,y-tfrac3raiz2,zr)^2 + tfrac92z^2
Logo
-3l(8y^2-12yz+9z^2r) = -3l(2raiz2,y-tfrac3raiz2,zr)^2 - tfrac272z^2

Passo 4

Juntando tudo, a forma quadrática fica:
zeta(x,y,z) = 8l(x-tfrac32yr)^2 -3l(2raiz2,y-tfrac3raiz2,zr)^2 - tfrac272,z^2

Passo 5

Dessa expressão vemos três quadrados não nulos: um com coeficiente positivo 8>0 e dois com coeficientes negativos ( -3 e -27/2). Portanto o índice (número de sinais positivos) é 1 e o posto (número total de quadrados) é 3.

Resposta

zeta(x,y,z)=8l(x-tfrac32yr)^2 -3l(2raiz2,y-tfrac3raiz2,zr)^2 - tfrac272z^2, índice = 1, posto = 3.

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