Determine a matriz de cada uma das formas bilineares abaixo, relativamente à base especificada:
b: R^n times R^n R, b(u, v)=lang<= A u, vrang<=, A in L(R^n), base canônica de R^n.

Passo 1

Vamos resolver a forma bilinear b: R^ntimes R^nto R, dada por b(u,v)=lang<= A u, vrang<=, na base canônica e1,dots,en. O conteúdo aqui é matrizes de formas bilineares e vamos usar que a matriz [b] tem entradas [b]ij=b(ei,ej).

Passo 2

Para cada par de vetores da base calculemos
b(ei,ej)=lang<= A ei, ejrang<=.
Como o produto interno canônico é lang<= x,yrang<==x^T y, temos
b(ei,ej)=(A ei)^T ej=u^T A^T v de forma geral, e em particular
b(ei,ej)=(A ei)^T ej =ei^T A^T ej=(A^T)ij

Passo 3

Portanto, montando a matriz de b cujas entradas são b(ei,ej), vemos que ela é exatamente A^T.

Resposta

A matriz da forma bilinear b(u,v)=lang<= Au,vrang<= na base canônica é A^T.

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