Determine os polinômios característicos dos seguintes operadores:
O operador de derivação D: Pn Pn.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico do operador de derivação D: Pnto Pn. O conteúdo aqui é encontrar o polinômio característico de um operador linear, ou seja, pD(lambda)=det(D-lambda I). Vamos precisar escolher uma base de Pn, conhecer a representação matricial de D e usar que em uma matriz triangular o polinômio característico é o produto dos elementos da diagonal menos lambda.

Passo 2

Escolhemos a base padrão 1, x, x^2,dots,x^n de Pn, que tem dimensão n+1. Em relação a essa base,
  • D(1)=0 dá a primeira coluna toda zero,
  • D(x)=1 faz um 1 na posição (1,2),
  • D(x^2)=2x faz um 2 na posição (2,3),
  • D(x^n)=n x^n-1 faz um n na posição (n,n+1).
    Assim, a matriz de D é estritamente triangular superior, com zeros na diagonal principal.

Passo 3

Em uma matriz triangular, o polinômio característico é
pD(lambda)=det(D-lambda I)=prodi=1^n+1(0-lambda)=(-lambda)^n+1
Como geralmente se ignora o fator (-1)^n+1 na forma final, podemos escrever o polinômio característico simplesmente como lambda^n+1.

Resposta

pD(lambda)=lambda^n+1

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