Determine os polinômios característicos dos seguintes operadores:
O operador de derivação
.
O operador de derivação
Passo 1
O enunciado pede o polinômio característico do operador de derivação
. O conteúdo aqui é encontrar o polinômio característico de um operador linear, ou seja,
. Vamos precisar escolher uma base de
, conhecer a representação matricial de
e usar que em uma matriz triangular o polinômio característico é o produto dos elementos da diagonal menos
.
Passo 2
Escolhemos a base padrão
de
, que tem dimensão
. Em relação a essa base,
-
dá a primeira coluna toda zero, -
faz um 1 na posição (1,2), -
faz um 2 na posição (2,3), - …
-
faz um na posição (n,n+1).
Assim, a matriz deé estritamente triangular superior, com zeros na diagonal principal.
Passo 3
Em uma matriz triangular, o polinômio característico é
Como geralmente se ignora o fator
na forma final, podemos escrever o polinômio característico simplesmente como
.