Assinale V(erdadeiro) ou F(also)
( ) Toda matriz quadrada escalonada é triangular superior.
( ) Toda matriz (quadrada) triangular superior é escalonada.
( ) As duas afirmações anteriores são verdadeiras quando se trata de matrizes invertíveis.
( ) Se a matriz a admite uma decomposição do tipo
então todas as submatrizes principais de a são invertíveis.
( ) Toda matriz quadrada escalonada é triangular superior.
( ) Toda matriz (quadrada) triangular superior é escalonada.
( ) As duas afirmações anteriores são verdadeiras quando se trata de matrizes invertíveis.
( ) Se a matriz a admite uma decomposição do tipo
Passo 1
Resumo: temos quatro afirmações sobre matrizes quadradas em forma escalonada, triangular superior, condição de invertibilidade e decomposição LU. Vamos usar definição de forma escalonada (row echelon form), de matriz triangular superior e fatos sobre invertibilidade e decomposição LU.
Passo 2
Analisando a afirmação 1: Uma matriz em forma escalonada satisfaz que, na i-ésima linha, o pivô está em coluna k_i e k_i ≥ i. Todo elemento abaixo da diagonal principal tem índice de coluna j < i ≤ k_i, logo a_{ij}=0. Isso mostra que toda matriz escalonada quadrada é triangular superior. Logo, essa afirmação é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação 2: Nem toda matriz triangular superior é escalonada, pois basta ter algum a_{ii}=0 com a_{i,i+1}≠0. A primeira entrada não nula dessa linha fica em coluna j>i; se a linha seguinte tiver pivô na mesma coluna, violamos a condição k_{i+1}>k_i. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação 3: Se a matriz é invertível e triangular superior, todos os a_{ii}≠0, portanto pivôs ficam em (i,i) e formam um escalonamento válido. Reciprocamente, matriz escalonada invertível também tem pivôs na diagonal, sendo triangular. Assim, as afirmações 1 e 2 valem para matrizes invertíveis. A afirmação é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmação 4: Um resultado clássico é que A admite LU sem pivoteamento se e somente se todos os menores principais (submatrizes leading principal) têm determinante não zero, isto é, são invertíveis. Logo, essa afirmação é verdadeira.
Resposta
V, F, V, V