Se
, prove que existe uma transformação linear ortogonal
tal que
se, e somente se, as matrizes de
e
são iguais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados espaços euclidianos reais E e F com
, existe um operador linear isométrico (orto
adgonal)
tal que
para
se e somente se as matrizes de Gram de
e de
forem iguais. Vamos usar conceitos de forma bilinear, matriz de Gram, isometrias e extensão de bases ortonormais.
Passo 2
Primeiro, suponha que exista tal
. Como
é ortogonal, ele preserva o produto interno. Assim, para todo par
, temos
Passo 3
Portanto a matriz de Gram
coincide com
.
Passo 4
Agora, suponha que
. Definimos
e
. Definimos um operador linear
por
Passo 5
Para ver que
está bem-definido, note que se
então
o que implica
. Logo a imagem de qualquer combinação nula também é nula.
Passo 6
Além disso, para quaisquer
e
em
temos
Passo 7
mostrando que
é isometria entre
e
.
Passo 8
Para estender
a um isomorfismo ortogonal
, escolhemos uma base ortonormal de
e completar a uma base ortonormal de
. De forma análoga, escolhemos uma base ortonormal de
e completamos a uma base ortonormal de
. Definimos
fazendo coincidir
em
e mapeando o complemento ortogonal de
em
para o complemento ortogonal de
em
por qualquer isometria. Isso garante que
seja linear, ortogonal e satisfaça
.
Passo 9
Juntando os dois resultados, concluímos a equivalência desejada.
Resposta
Existe transformação linear ortogonal
com
para
se e somente se