Se dim E <= dim F, prove que existe uma transformação linear ortogonal A: E F tal que A v1=w1, ldots, A vk=wk se, e somente se, as matrizes de Gram g(v1, ldots, vk) e g(w1, ldots, wk) são iguais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados espaços euclidianos reais E e F com dim E<=dim F, existe um operador linear isométrico (orto
adgonal) A:Eto F tal que Avi=wi para i=1,dots,k se e somente se as matrizes de Gram de v1,dots,vk e de w1,dots,wk forem iguais. Vamos usar conceitos de forma bilinear, matriz de Gram, isometrias e extensão de bases ortonormais.

Passo 2

Primeiro, suponha que exista tal A. Como A é ortogonal, ele preserva o produto interno. Assim, para todo par i,j, temos
lang<= vi,vjrang<= = lang<= Avi,Avjrang<= = lang<= wi,wjrang<=

Passo 3

Portanto a matriz de Gram Gv=(lang<= vi,vjrang<=) coincide com Gw=(lang<= wi,wjrang<=).

Passo 4

Agora, suponha que Gv=Gw. Definimos U=spanv1,dots,vk e W=spanw1,dots,wk. Definimos um operador linear B:Uto W por
Bl(sumi=1^k ai vir)=sumi=1^k ai wi

Passo 5

Para ver que B está bem-definido, note que se sum ai vi=0 então
0=llang<=sum ai vi,sum aj vjrrang<= = a^T Gv a = a^T Gw a = llang<=sum ai wi,sum aj wjrrang<=,
o que implica sum ai wi=0. Logo a imagem de qualquer combinação nula também é nula.

Passo 6

Além disso, para quaisquer u=sum ai vi e u'=sum bi vi em U temos
lang<= u,u'rang<= = a^T Gv b = a^T Gw b = lang<= Bu,Bu'rang<=,

Passo 7

mostrando que B é isometria entre U e W.

Passo 8

Para estender B a um isomorfismo ortogonal A:Eto F, escolhemos uma base ortonormal de U e completar a uma base ortonormal de E. De forma análoga, escolhemos uma base ortonormal de W e completamos a uma base ortonormal de F. Definimos A fazendo coincidir B em U e mapeando o complemento ortogonal de U em E para o complemento ortogonal de W em F por qualquer isometria. Isso garante que A seja linear, ortogonal e satisfaça Avi=wi.

Passo 9

Juntando os dois resultados, concluímos a equivalência desejada.

Resposta

Existe transformação linear ortogonal A:Eto F com Avi=wi para i=1,dots,k se e somente se
g(v1,dots,vk)= g(w1,dots,wk)

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