Neste exercício vamos obter a decomposição LU de duas matrizes, uma 3×3 (chamarei de A) e outra 3×4 (chamarei de B), usando eliminação de Gauss sem pivotamento. Vamos precisar calcular os multiplicadores que ficam na matriz L e obter a matriz triangular superior U.
Passo 2
Para a matriz A=1&2&23&3&44&-1&3, primeiro usamos o pivô a11=1 para zerar abaixo:
Calculamos ell21=3/1=3 e ell31=4/1=4.
Subtraindo 3 vezes a 1ª linha da 2ª e 4 vezes da 3ª, obtemos a matriz intermediária:
1&2&20&-3&-20&-9&-5
Passo 3
Continuando a eliminação em A, usamos o pivô -3 (posição (2,2)) para zerar abaixo:
Calculamos ell32=(-9)/(-3)=3.
Subtraindo 3 vezes a 2ª linha (já atualizada) da 3ª, chegamos a:
1&2&20&-3&-20&0&1
que é a matriz U de A.
Passo 4
Agora para montar L de A, colocamos 1s na diagonal e os multiplicadores nas posições abaixo:
LA=1&0&03&1&04&3&1, UA=1&2&20&-3&-20&0&1
Passo 5
Para a matriz B=2&1&0&44&5&1&72&-8&-1&12, começamos com o pivô 2 na posição (1,1):
Calculamos ell21=4/2=2 e ell31=2/2=1.
Subtraindo 2 vezes a 1ª linha da 2ª e 1 vez da 3ª, temos:
2&1&0&40&3&1&-10&-9&-1&8
Passo 6
Na segunda etapa de eliminação para B, usamos o pivô 3 (posição (2,2)) para zerar abaixo:
Calculamos ell32=(-9)/3=-3.
Somando 3 vezes a 2ª linha à 3ª, chegamos a:
2&1&0&40&3&1&-10&0&2&5
que é a matriz U de B.
Passo 7
Montando L de B, colocamos 1s na diagonal e os multiplicadores:
LB=1&0&02&1&01&-3&1, UB=2&1&0&40&3&1&-10&0&2&5
Resposta
Para A:
LA=1&0&03&1&04&3&1, UA=1&2&20&-3&-20&0&1
Para B:
LB=1&0&02&1&01&-3&1, UB=2&1&0&40&3&1&-10&0&2&5
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 17.Exercícios - Ex. 17.16