Sejam a in M(n times n) uma matriz positiva e b in M(n times m ) uma matriz de posto n. Ache vetores v1, ldots, vm in R^n tais que g(v1, ldots, vm)=b^top a b.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar vetores v1,dots,vmin R^n tais que a forma de Gram g(v1,dots,vm), isto é, a matriz cujos elementos são vi^top vj, seja igual a b^top a b. O conteúdo principal envolve matrizes positivas (definidas), fatoração em raiz quadrada e representação de produto interno por meio de matrizes.

Passo 2

Como a é uma matriz positiva definida, existe uma matriz simétrica positiva definida a^1/2 tal que
( a^1/2)^2 = a,
A definição de g(v1,dots,vm) é a matriz de Gram com entradas
gij = vi^top vj,

Passo 3

Tomando as colunas de b como b1,dots,bmin R^n, definimos os vetores
vj = a^1/2,bj,, j=1,dots,m,
Então para quaisquer i,j temos
vi^top vj = bi^topl( a^1/2r)^top a^1/2bj = bi^top a,bj,,
o que mostra que a matriz de Gram [vi^top vj] coincide com b^top a b.

Resposta

Os vetores podem ser escolhidos como
vj = a^1/2,bj, j=1,dots,m,
onde bj é a j-ésima coluna de b e a^1/2 é a raiz quadrada de a.

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