Sejam
uma matriz positiva e
) uma matriz de posto
. Ache vetores
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar vetores
tais que a forma de Gram
, isto é, a matriz cujos elementos são
, seja igual a
. O conteúdo principal envolve matrizes positivas (definidas), fatoração em raiz quadrada e representação de produto interno por meio de matrizes.
Passo 2
Como
é uma matriz positiva definida, existe uma matriz simétrica positiva definida
tal que
A definição de
é a matriz de Gram com entradas
Passo 3
Tomando as colunas de
como
, definimos os vetores
Então para quaisquer
temos
o que mostra que a matriz de Gram
coincide com
.
Resposta
Os vetores podem ser escolhidos como
onde
é a
-ésima coluna de
e
é a raiz quadrada de
.