Considere o operador , dado por ), cuja matriz é triangular. Ache uma base de formada por autovetores de B.
Passo 1
A gente tem o operador , dado por . O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de operadores lineares, e vamos precisar gerar a matriz de na base canônica, identificar que ela é triangular e usar a propriedade de que os autovalores são os elementos da diagonal. Depois, resolvemos pra cada .
Passo 2
Primeiro calculamos a matriz de na base canônica. Como , e , temos
É uma matriz triangular superior.
Em matrizes triangulares, os autovalores estão na diagonal. Logo os autovalores de B são lambda1=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda2=4 (multiplicidade 1).
Passo 3
Para [\lambda=1), montamos a equação . Isso dá o sistema
que implica e . Então o espaço próprio é , e podemos escolher como autovetores por exemplo e .
Passo 4
Para [\lambda=4), resolvemos . O sistema correspondente é
Da primeira equação ; da segunda . Tomando pra evitar frações, um autovetor é .
Passo 5
Os vetores v1=(1,0,0), v2=(0,1,0) e v3=(2,3,3) são autovetores associados a lambda=1,1,4 respectivamente. Eles são linearmente independentes e formam uma base de R^3 composta só de autovetores de B.
Resposta
Uma base de R^3 formada por autovetores de B é (1,0,0),,(0,1,0),,(2,3,3).
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 17.Exercícios - Ex. 17.8