Considere o operador B: R^3 R^3, dado por B(x, y, z)=(x+ 2 z, y+3 z, 4 z ), cuja matriz é triangular. Ache uma base de R^3 formada por autovetores de B.

Passo 1

A gente tem o operador B:R^3toR^3, dado por B(x,y,z)=(x+2z,;y+3z,;4z). O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de operadores lineares, e vamos precisar gerar a matriz de B na base canônica, identificar que ela é triangular e usar a propriedade de que os autovalores são os elementos da diagonal. Depois, resolvemos (A-lambda I)v=0 pra cada lambda.

Passo 2

Primeiro calculamos a matriz de B na base canônica. Como B(e1)=B(1,0,0)=(1,0,0), B(e2)=(0,1,0) e B(e3)=(2,3,4), temos
A=1&0&20&1&30&0&4
É uma matriz triangular superior.
Em matrizes triangulares, os autovalores estão na diagonal. Logo os autovalores de B são lambda1=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda2=4 (multiplicidade 1).

Passo 3

Para [\lambda=1), montamos a equação . Isso dá o sistema
que implica e . Então o espaço próprio é , e podemos escolher como autovetores por exemplo e .

Passo 4

Para [\lambda=4), resolvemos . O sistema correspondente é
Da primeira equação ; da segunda . Tomando pra evitar frações, um autovetor é .

Passo 5

Os vetores v1=(1,0,0), v2=(0,1,0) e v3=(2,3,3) são autovetores associados a lambda=1,1,4 respectivamente. Eles são linearmente independentes e formam uma base de R^3 composta só de autovetores de B.

Resposta

Uma base de R^3 formada por autovetores de B é (1,0,0),,(0,1,0),,(2,3,3).

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