Assinale V(erdadeiro) ou
:
( ) Se um operador é diagonalizável, todas as suas matrizes triangulares são diagonais.
( ) Seja a uma matriz triangular não-diagonal. Se todos os elementos da diagonal de a forem iguais, a não é diagonalizável.
( ) Uma matriz
que tem dois autovalores distintos é triangularizável.
( ) Se um operador é diagonalizável, todas as suas matrizes triangulares são diagonais.
( ) Seja a uma matriz triangular não-diagonal. Se todos os elementos da diagonal de a forem iguais, a não é diagonalizável.
( ) Uma matriz
Passo 1
O enunciado pede para julgar três afirmativas sobre diagonalizabilidade e triangularização de operadores lineares. Vamos usar conceitos de base de autovetores, multiplicidade algébrica e teorema de triangularização.
Passo 2
Analisando a primeira afirmação: “Se um operador é diagonalizável, todas as suas matrizes triangulares são diagonais.” Um operador diagonalizável admite uma base de autovetores onde a matriz é diagonal, mas nada impede que, em outra base qualquer, exista uma representação triangular não diagonal. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
Analisando a segunda afirmação: “Seja uma matriz triangular não-diagonal. Se todos os elementos da diagonal de uma forem iguais, uma não é diagonalizável.” Uma matriz triangular com todos os valores diagonais iguais a um mesmo \u0013\u0013\u0013\u0013 tem um único autovalor de multiplicidade algébrica n. Como ela não está na forma diagonal (há pelo menos um elemento não nulo fora da diagonal), não existem n vétores próprios linearmente independentes. Portanto, não é diagonalizável. A afirmação é verdadeira.
Passo 4
Analisando a terceira afirmação: “Uma matriz 3×3 que tem dois autovalores distintos é triangularizável.” Se a matriz tem seu polinômio característico totalmente fatorado no corpo de definição (dois autovalores distintos \u0013\u0013\u0013\u0013 um possivelmente repetido), ela satisfaz as hipóteses do teorema de triangularização (por exemplo, no corpo dos complexos, todo operador é triangularizável). Logo, qualquer 3×3 com dois autovalores distintos admite forma triangular. A afirmação é verdadeira.
Resposta
F, V, V